Seja f(x, y)=\operatorname{sen}(x)+e^{\wedge}(x y). Encontre grad f(x, y) e grad f(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função (vou interpretar a notação e^{\wedge}(xy) como a exponencial usual \mathrm{e}^{xy})
f(x,y)=\sin(x)+\mathrm{e}^{xy}.
O que o exercício pede:
  • Encontrar \nabla f(x,y), isto é, o gradiente em termos de x e y.
  • Calcular \nabla f(0,1), o gradiente no ponto (0,1).

Passo 2

Lembrete do que é o gradiente e como calculá-lo (explicação didática):
  • O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Derivada parcial em x: trata-se de derivar f considerando y como constante.
  • Derivada parcial em y: deriva-se considerando x como constante.
  • Regra importante que vamos usar: regra da cadeia para a exponencial. Se g(x,y)=\mathrm{e}^{h(x,y)}, então
\frac{\partial}{\partial x}\mathrm{e}^{h(x,y)}= \frac{\partial h}{\partial x}\,\mathrm{e}^{h(x,y)}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\mathrm{e}^{h(x,y)}= \frac{\partial h}{\partial y}\,\mathrm{e}^{h(x,y)}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • A derivada parcial de \sin(x) em relação a x é \cos(x), porque a derivada de \sin é \cos.
  • Para \mathrm{e}^{xy}, apliquei a regra da cadeia com h(x,y)=xy. Temos \dfrac{\partial h}{\partial x}=y (pois y é tratado como constante), logo
\frac{\partial}{\partial x}\mathrm{e}^{xy}=y\,\mathrm{e}^{xy}.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)+y\,\mathrm{e}^{xy}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • \sin(x) não depende de y, então sua derivada parcial em relação a y é 0.
  • Para \mathrm{e}^{xy}, com h(x,y)=xy, temos \dfrac{\partial h}{\partial y}=x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\mathrm{e}^{xy}=x\,\mathrm{e}^{xy}.
  • Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x\,\mathrm{e}^{xy}.

Passo 5

Juntando os resultados, o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(\cos(x)+y\,\mathrm{e}^{xy},\;x\,\mathrm{e}^{xy}\right).
Dica rápida para a prova: ao ver \mathrm{e}^{\text{algo}}, sempre pense em regra da cadeia — a derivada é (derivada do “algo”) vezes a própria exponencial.

Passo 6

Avaliar \nabla f no ponto (0,1):
  • Primeiro componente: \cos(0)+1\cdot\mathrm{e}^{0\cdot1} = 1 + 1\cdot \mathrm{e}^{0} = 1+1\cdot 1 = 2.
  • Segundo componente: 0\cdot\mathrm{e}^{0\cdot1}=0\cdot 1 = 0.
    Logo
\nabla f(0,1)=(2,0).

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(\cos(x)+y\,\mathrm{e}^{xy},\;x\,\mathrm{e}^{xy}\right)
\nabla f(0,1)=(2,0)

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