Seja
. Encontre grad
e grad
.
Passo 1
O enunciado dá a função (vou interpretar a notação
como a exponencial usual
)
O que o exercício pede:
- Encontrar
, isto é, o gradiente em termos de e . - Calcular
, o gradiente no ponto .
Passo 2
Lembrete do que é o gradiente e como calculá-lo (explicação didática):
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a :
- Derivada parcial em
: trata-se de derivar considerando como constante. - Derivada parcial em
: deriva-se considerando como constante. - Regra importante que vamos usar: regra da cadeia para a exponencial. Se
, então
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- A derivada parcial de
em relação a é , porque a derivada de é . - Para
, apliquei a regra da cadeia com . Temos (pois é tratado como constante), logo
- Somando as partes:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
-
não depende de , então sua derivada parcial em relação a é . - Para
, com , temos . Pela regra da cadeia,
- Portanto
Passo 5
Juntando os resultados, o gradiente geral é
Dica rápida para a prova: ao ver
, sempre pense em regra da cadeia — a derivada é (derivada do “algo”) vezes a própria exponencial.
Passo 6
Avaliar
no ponto
:
- Primeiro componente:
. - Segundo componente:
.
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