Sabendo que f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}} e que f(0)=\frac{2}{3}, determine f(\sqrt{5})
Escolha uma opção: \bigcirc
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a. \frac{\sqrt{5}}{3}
b. \frac{4}{3}
c. \frac{1}{3}
d. \frac{\sqrt{5}}{4}
e. \frac{5}{3}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede um valor específico:
  • Dado f^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}.
  • Condição inicial f(0)=\dfrac{2}{3}.
  • Pedem f(\sqrt{5}).

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para encontrar f(x) a partir de f^{\prime}(x) usamos a ideia de antiderivada (primitiva). Se conhecemos f'(x), então qualquer primitiva F(x) de f'(x) satisfaz F'(x)=f'(x) e f(x)=F(x)+C. Podemos calcular uma primitiva de f'(x) encontrando \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}\,dx. Depois usamos f(0)=\dfrac{2}{3} para achar a constante C. Isso é o teorema fundamental do cálculo em linguagem simples: derivada → integrando voltamos à função (mais uma constante).

Passo 3

Calcule a primitiva de f^{\prime}(x). Faço uma substituição simples:
u = 3x^{2}+1.
Então
du = 6x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \dfrac{du}{6}.
Substituindo na integral:
\int \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}\,dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{du}{6} = \dfrac{1}{6}\int u^{-1/2}\,du.
Integrando u^{-1/2}:
\dfrac{1}{6}\int u^{-1/2}\,du = \dfrac{1}{6}\cdot 2u^{1/2} + C = \dfrac{1}{3}\sqrt{u} + C.
Voltando à variável x:
\int \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}\,dx = \dfrac{1}{3}\sqrt{3x^{2}+1} + C.
Logo uma primitiva de f^{\prime} é \dfrac{1}{3}\sqrt{3x^{2}+1}, então
f(x)=\dfrac{1}{3}\sqrt{3x^{2}+1}+C.

Passo 4

Use a condição inicial f(0)=\dfrac{2}{3} para achar C. Substituindo x=0:
f(0)=\dfrac{1}{3}\sqrt{3\cdot 0^{2}+1}+C = \dfrac{1}{3}\cdot 1 + C = \dfrac{1}{3}+C.
Igualando a \dfrac{2}{3}:
\dfrac{1}{3}+C=\dfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{1}{3}.
Portanto
f(x)=\dfrac{1}{3}\sqrt{3x^{2}+1}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\big(\sqrt{3x^{2}+1}+1\big).

Passo 5

Agora avalio em x=\sqrt{5}. Primeiro calcule \sqrt{3x^{2}+1} com x=\sqrt{5}:
3x^{2}+1=3\cdot 5 +1 =15+1=16,\quad \sqrt{16}=4.
Então
f(\sqrt{5})=\dfrac{1}{3}\big(4+1\big)=\dfrac{5}{3}.

Resposta

e. \dfrac{5}{3}

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