Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 10 e o oitavo é 52 , determine o valor do vigésimo termo dessa PA.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre uma progressão aritmética (PA): o primeiro termo é \,a_1=10, e o oitavo termo é \,a_8=52. A pergunta é: qual é o vigésimo termo dessa PA, isto é, \,a_{20},?

Passo 2

Lembrete didático curto e direto: uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando sempre a mesma quantidade chamada de razão. A fórmula geral para o n-ésimo termo de uma PA é
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • \,a_n é o n-ésimo termo que queremos calcular,
  • \,a_1 é o primeiro termo (já conhecido),
  • \,d é a razão da PA (diferença constante entre termos),
  • \,n é o índice do termo.
Vou explicar cada símbolo como se estivéssemos no quadro: \,a_1 é onde a sequência começa; \,d é quanto somamos cada vez; \,(n-1) conta quantas vezes somamos \,d para chegar ao n-ésimo termo.

Passo 3

Usamos a fórmula anterior para relacionar \,a_8 com \,a_1 e \,d. Colocando n=8 na fórmula:
a_8 = a_1 + (8-1)d.
Substituindo os valores que o enunciado deu ( \,a_8=52 e \,a_1=10):
52 = 10 + 7d.

Passo 4

Agora resolvemos a equação para encontrar \,d. Primeiro subtraímos \,10 dos dois lados:
52 - 10 = 7d \quad\Rightarrow\quad 42 = 7d.
Em seguida dividimos por \,7:
d = \frac{42}{7} = 6.
Então a razão da PA é \,d=6. Explicação rápida da conta: \,42\div7 é \,6 porque 7\times6=42.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do n-ésimo termo para n=20. Usando
a_{20} = a_1 + (20-1)d,
substituímos \,a_1=10 e \,d=6:
a_{20} = 10 + 19\cdot 6.
Para calcular 19\cdot6 de forma rápida sem calculadora, pense em 20\cdot6-1\cdot6 = 120-6 = 114. Assim obtemos a expressão
a_{20} = 10 + 114.

Passo 6

Checagem rápida (aprender fazendo): a sequência começa \,10,\,16,\,22,\,28,\dots — note que estamos somando \,6 a cada passo; o 8.º termo nessa contagem dá \,52 (confere com o enunciado). Aplicando a mesma ideia até o 20.º termo, continuamos somando \,6 repetidas vezes até acumular 19 saltos de \,6, o que bate com a conta anterior.

Resposta

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