Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 10 e o oitavo é 52 , determine o valor do vigésimo termo dessa PA.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre uma progressão aritmética (PA): o primeiro termo é
, e o oitavo termo é
. A pergunta é: qual é o vigésimo termo dessa PA, isto é,
,?
Passo 2
Lembrete didático curto e direto: uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando sempre a mesma quantidade chamada de razão. A fórmula geral para o
-ésimo termo de uma PA é
onde:
-
é o -ésimo termo que queremos calcular, -
é o primeiro termo (já conhecido), -
é a razão da PA (diferença constante entre termos), -
é o índice do termo.
Vou explicar cada símbolo como se estivéssemos no quadro:
é onde a sequência começa;
é quanto somamos cada vez;
conta quantas vezes somamos
para chegar ao
-ésimo termo.
Passo 3
Usamos a fórmula anterior para relacionar
com
e
. Colocando
na fórmula:
Substituindo os valores que o enunciado deu (
e
):
Passo 4
Agora resolvemos a equação para encontrar
. Primeiro subtraímos
dos dois lados:
Em seguida dividimos por
:
Então a razão da PA é
. Explicação rápida da conta:
é
porque
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do
-ésimo termo para
. Usando
substituímos
e
:
Para calcular
de forma rápida sem calculadora, pense em
. Assim obtemos a expressão
Passo 6
Checagem rápida (aprender fazendo): a sequência começa
— note que estamos somando
a cada passo; o 8.º termo nessa contagem dá
(confere com o enunciado). Aplicando a mesma ideia até o 20.º termo, continuamos somando
repetidas vezes até acumular
saltos de
, o que bate com a conta anterior.