Resolva a seguinte equação: \left|\begin{array}{llll}x & a & a & a \\\ a & x & a & a \\\ a & a & x & a \\\ a & a & a & x\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|\begin{array}{llll} x & a & a & a \\\ a & x & a & a \\\ a & a & x & a \\\ a & a & a & x \end{array}\right|=0.
Informações dadas:
  • A matriz é quadrada 4\times4 com elementos x na diagonal e a fora da diagonal.
  • A incógnita a ser encontrada é x (considerando a como parâmetro).
  • Queremos todos os valores de x que tornam o determinante igual a zero.

Passo 2

Vamos simplificar o cálculo do determinante usando operações elementares em linhas que preservam o determinante: substituir cada linha R_i por R_i-R_1 para i=2,3,4. Essa operação não altera o valor do determinante. A ideia é criar zeros e obter uma forma que permita fatorar termos.

Passo 3

Aplicando R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1, obtemos a matriz
\begin{pmatrix} x & a & a & a\\[4pt] a-x & x-a & 0 & 0\\[4pt] a-x & 0 & x-a & 0\\[4pt] a-x & 0 & 0 & x-a \end{pmatrix}.
Observe que a-x=-(x-a). As linhas 2,3,4 têm todas um fator comum (x-a).]

Passo 4

Fatoramos (x-a) de cada uma das linhas 2,3,4. Ao fatorar um escalar de uma linha multiplicamos o determinante por esse escalar, então ao fatorar das três linhas obtemos um fator (x-a)^3. Assim
\left|\begin{array}{llll} x & a & a & a \\\ a & x & a & a \\\ a & a & x & a \\\ a & a & a & x \end{array}\right| =(x-a)^3\cdot \left|\begin{array}{llll} x & a & a & a\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|.

Passo 5

Para o determinante restante, note a estrutura em blocos. Escrevendo em blocos:
\left|\begin{array}{c|c} x & v^{T} \\\ \hline u & I_3 \end{array}\right|
onde v^{T}=(a,a,a), u=(-1,-1,-1)^{T} e I_3 é a matriz identidade 3\times3. Há uma fórmula prática: se o bloco inferior direito D é invertível, então
\det\begin{pmatrix}A & B\\\ C & D\end{pmatrix}=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).
Aqui D=I_3 então D^{-1}=I_3 e \det(D)=1. Portanto o determinante do bloco é
x - v^{T}I_3 u = x - v^{T}u.
Calcule v^{T}u=(a,a,a)\cdot(-1,-1,-1)=-3a. Logo o determinante do bloco vale
x-(-3a)=x+3a.

Passo 6

Combinando tudo, o determinante original é
\det = (x-a)^3(x+3a).
Para que o determinante seja zero, precisamos que um dos fatores seja zero. Portanto as soluções são
x-a=0\quad\text{ou}\quad x+3a=0,
isto é x=a (com multiplicidade três) ou x=-3a.

Resposta

x=a\n x=-3a

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