Esboce o conjunto do plano dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo. e
Passo 1
O enunciado define . Geometricamente é a metade direita do disco aberto de raio 1, mas com o semieixo incluído. Precisamos esboçar, achar a fronteira e classificar o conjunto.
Passo 2
Para determinar a fronteira, lembramos que para vale: é o conjunto dos pontos que têm uma bola aberta totalmente contida em , é o fecho (todos os pontos-limite) e a fronteira é partial A=Asetminusint(A).
Passo 3
No nosso caso vemos que qualquer ponto com x>0 e x^2+y^2<1 admite uma pequena bola dentro de R, logo
int(\mathcal{R}) = {(x,y): x>0,;x2+y2<1}.
Passo 4
Como a condição x>=0 já é fechada e unimos isso a x^2+y^2<1, ao fechar incluímos o arco x^2+y^2=1. Assim
overline(\mathcal{R}) = {(x,y): x\ge0,;x2+y2\le1}.
Passo 5
Logo a fronteira é
.
Passo 6
Para classificar:
Não é aberto porque os pontos em x=0 não têm bola aberta inteiramente contida em R.
Não é fechado porque não inclui o arco x^2+y^2=1.
É limitado pois está contido no disco de raio 1.
Não é compacto pois, embora limitado, não é fechado.
É conexo (na verdade é até arco-conexo) por ser um semidisco sem lacunas.
Resposta
A fronteira de R é
O conjunto partialR = (x,y)inR^2 : x^2+y^2=1,;x>=0ncup (0,y)inR^2 : |y|<=1 não é aberto nem fechado, é limitado, não é compacto e é conexo.