Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; x >= 0 e x^2+y^2<1

Passo 1

O enunciado define R=(x,y)inR^2;;x>=0,;x^2+y^2<1. Geometricamente é a metade direita do disco aberto de raio 1, mas com o semieixo x=0 incluído. Precisamos esboçar, achar a fronteira e classificar o conjunto.

Passo 2

Para determinar a fronteira, lembramos que para AsubsetR^2 vale: int(A) é o conjunto dos pontos que têm uma bola aberta totalmente contida em A, A é o fecho (todos os pontos-limite) e a fronteira é partial A=Asetminusint(A).

Passo 3

No nosso caso vemos que qualquer ponto com x>0 e x^2+y^2<1 admite uma pequena bola dentro de R, logo
int(\mathcal{R}) = {(x,y): x>0,;x2+y2<1}.

Passo 4

Como a condição x>=0 já é fechada e unimos isso a x^2+y^2<1, ao fechar incluímos o arco x^2+y^2=1. Assim
overline(\mathcal{R}) = {(x,y): x\ge0,;x2+y2\le1}.

Passo 5

Logo a fronteira é
.

Passo 6

Para classificar:
  • Não é aberto porque os pontos em x=0 não têm bola aberta inteiramente contida em R.
  • Não é fechado porque não inclui o arco x^2+y^2=1.
  • É limitado pois está contido no disco de raio 1.
  • Não é compacto pois, embora limitado, não é fechado.
  • É conexo (na verdade é até arco-conexo) por ser um semidisco sem lacunas.

Resposta

A fronteira de R é
O conjunto partialR = (x,y)inR^2 : x^2+y^2=1,;x>=0ncup (0,y)inR^2 : |y|<=1 não é aberto nem fechado, é limitado, não é compacto e é conexo.

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