Sabendo que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por:
Determine a solução deste PVI.
Determine a solução deste PVI.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
4 x’’ + x = 0 com x(0) = -1 e x’(0) = 1.
O conteúdo é equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada substituindo x(t) por e^{rt}. Assim, temos
Resolvendo para r: r^2 = -1/4, logo r = \pm i/2.
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de x’(t). Derivando usamos regra da cadeia:
$$x’(t) = -C_1 \cdot \tfrac12\sin!\bigl(\tfrac t2\bigr) + C_2 \cdot \tfrac12\cos!\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais:
De x(0) = -1 segue
De x’(0) = 1 segue
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
$$x(t) = -1\cdot \cos!\bigl(\tfrac t2\bigr) + 2\cdot \sin!\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$