Sabendo que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por:
4 x^prime prime+x=0, x(0)=-1, x^prime(0)=1
Determine a solução deste PVI.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
4 x’’ + x = 0 com x(0) = -1 e x’(0) = 1.
O conteúdo é equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo x(t) por e^{rt}. Assim, temos
4r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r: r^2 = -1/4, logo r = \pm i/2.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=1/2, a solução geral da EDO é
x(t) = C1 cos!l(tfrac t2r) + C2 sin!l(tfrac t2r)

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de x’(t). Derivando usamos regra da cadeia:
$$x’(t) = -C_1 \cdot \tfrac12\sin!\bigl(\tfrac t2\bigr) + C_2 \cdot \tfrac12\cos!\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais:
De x(0) = -1 segue
x(0) = C1 = -1
De x’(0) = 1 segue
x'(0) = tfracC22 = 1 implies C2 = 2

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
$$x(t) = -1\cdot \cos!\bigl(\tfrac t2\bigr) + 2\cdot \sin!\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$

Resposta

x(t) = -cosl(tfrac t2r) + 2sinl(tfrac t2r).

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