Sabendo Q(t)=Q0 cdot e^-i t, na qual Q representa a massa final da substância, Q0 a massa inicial, i a taxa e t o tempo. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4 % ao ano. (Lembre-se: meia vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre).

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento exponencial
Q(t)=Q0e^-i t,
onde Q0 é a massa inicial, i é a taxa de decaimento por ano e t o tempo em anos. Queremos achar a meia-vida t1/2, isto é, o tempo para que Q(t1/2)=tfracQ02.

Passo 2

Impondo a definição de meia-vida, temos
Q0e^-i t1/2 = Q02
Dividindo ambos os lados por Q0, obtemos
e^-i t1/2 = 12

Passo 3

Para isolar t1/2, aplicamos o logaritmo natural:
-i,t1/2 = ln!l(tfrac12r) = -ln 2
e, portanto,
i,t1/2 = ln 2 Longrightarrow t1/2 = ln 2i

Passo 4

Como a taxa de decaimento é de 4% ao ano, temos i=0,04. Logo,
t1/2 = ln 20,04 = 25,ln 2
Usando ln 2approx0,6931,
t1/2approx 25times0,6931 approx 17,33 anos

Resposta

A meia-vida é de aproximadamente 17,3 anos.

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