Sabendo que a reta y+27 x+39=0 é tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{1}{3 x+5} em P=(a, b), podemos afirmar que a pertence ao intervalo:
Escolha uma opção:
a. [5, \infty)
b. \left(-7,-\frac{5}{3}\right)
C. (1,5)
d. (-\infty,-7]
e. \left(-\frac{5}{3}, 1\right]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{3x+5}
e a reta
y+27x+39=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-27x-39,
que é tangente ao gráfico de f no ponto P=(a,b). O conteúdo aqui é derivada e reta tangente: precisamos igualar o coeficiente angular da reta à derivada de f em a e garantir que o ponto P pertence à reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de f por regra de cadeia:
f'(x)=-\frac{3}{(3x+5)^2}.
O coeficiente angular da reta é
m=-27.

Passo 3

Impondo a condição de tangência f'(a)=m, temos
-\frac{3}{(3a+5)^2}=-27 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{(3a+5)^2}=27 \quad\Longrightarrow\quad (3a+5)^2=\frac{1}{9},
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3a+5=\pm\frac{1}{3}.

Passo 4

Resolvendo cada caso:
  • Se 3a+5=\tfrac{1}{3}, então
a=-\frac{14}{9}, \quad f(a)=\frac{1}{3a+5}=3.
  • Se 3a+5=-\tfrac{1}{3}, então
a=-\frac{16}{9}, \quad f(a)=-3.

Passo 5

Verificamos quais desses pontos estão na reta y=-27x-39:
  • Para a=-\tfrac{14}{9}, o valor na reta é
y=-27\Bigl(-\tfrac{14}{9}\Bigr)-39=3=f(a),
válido.
  • Para a=-\tfrac{16}{9}, o valor na reta é
y=-27\Bigl(-\tfrac{16}{9}\Bigr)-39=9\neq-3=f(a),
rejeita-se.

Passo 6

Ficamos com a=-\tfrac{14}{9}\approx-1,555. Dentre as opções dadas, esse valor pertence ao intervalo
\bigl(-\tfrac{5}{3},1\bigr].

Resposta

\displaystyle\left(-\frac{5}{3},1\right]

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