A derivada da função f(x)=\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\left(5 x^{2}+10 x\right) é:
Escolha uma opção:
a. \quad f^{\prime}(x)=10 x+5
b. f^{\prime}(x)=6 x+3
c. f^{\prime}(x)=\frac{5 x+10}{x+2}
d. f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(x+2)^{2}}(5 x+5)
e. f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+2)^{2}}(10 x+5)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\bigl(5x^{2}+10x\bigr).
Para isso, vamos usar simplificação algébrica de função racional antes de derivar.

Passo 2

Note que
5x^{2}+10x = 5x(x+2).
Substituindo em f(x), temos
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\cdot5x(x+2)=5x(x+1).

Passo 3

Agora f(x)=5x^{2}+5x é um polinômio. Aplicando a regra de derivação termo a termo, obtemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)=10x+5.

Resposta

(a) f'(x)=10x+5

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