A derivada da função f(x)=\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\left(2 x^{2}+4 x\right) é:
Escolha uma opção:
a) \quad f^{\prime}(x)=2 x+1
b) f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+2)^{2}}(4 x+4)
c) f^{\prime}(x)=4 x+2
d) f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(x+2)^{2}}(4 x+4)
e) f^{\prime}(x)=\frac{4 x+4}{x+2}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x) = \frac{x+1}{x+2}\,\bigl(2x^{2}+4x\bigr)
e pede f'(x). Vamos usar fatoração e simplificação algébrica antes de derivar.

Passo 2

Note que
2x^{2}+4x = 2x(x+2).
Substituindo em f(x) temos
f(x) = \frac{x+1}{x+2}\,\bigl[2x(x+2)\bigr] = 2x(x+1),
pois o fator (x+2) cancela.

Passo 3

Agora f(x)=2x(x+1)=2x^{2}+2x. Derivando cada termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{2})+\frac{d}{dx}(2x) =4x+2.

Resposta

c) \displaystyle f'(x)=4x+2

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