Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: r1:{x=3mt-3 y=1+3t z=-4t e r2:{x=2y-1 z=-y+4}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas retas, r₁ e r₂, que são ortogonais, ou seja, perpendiculares. Nosso objetivo é encontrar o valor de m que torna isso verdadeiro. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre o produto escalar dos vetores diretores das retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas r₁ e r₂. A reta r₁ está parametrizada por:
x = 3mt - 3 y = 1 + 3t z = -4t
Aqui, o vetor diretor de r₁ é dado pelos coeficientes das variáveis $ t $, ou seja, v₁ = (3m, 3, -4).

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta r₂:
x = 2y - 1 z = -y + 4
Para encontrar o vetor diretor de r₂, precisamos reescrever essas equações em termos de um parâmetro, digamos $ s $. Vamos resolver para $ y $:
s
Então,
y
Portanto, o vetor diretor de r₂ é v₂ = (2, 1, -1).

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, v₁ = (3m, 3, -4) e v₂ = (2, 1, -1), podemos usar o conceito de ortogonalidade. Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for igual a zero.
O produto escalar é calculado assim:
v₁ cdot v₂ = 3m times 2 + 3 times 1 + (-4) times (-1)

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
v₁ cdot v₂ = 6m + 3 + 4 = 6m + 7
Para que as retas sejam ortogonais, esse resultado deve ser igual a zero:
6m + 7 = 0

Passo 6

Agora, é só resolver essa equação para encontrar o valor de m:
6m + 7 = 0 6m = -7 m = -76

Resposta

O valor de m que torna as retas r₁ e r₂ ortogonais é $ m = -\frac{7}{6} $.

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