Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: r1:{x=3mt-3 y=1+3t z=-4t e r2:{x=2y-1 z=-y+4}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas retas, r₁ e r₂, que são ortogonais, ou seja, perpendiculares. Nosso objetivo é encontrar o valor de m que torna isso verdadeiro. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre o produto escalar dos vetores diretores das retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas r₁ e r₂. A reta r₁ está parametrizada por:
Aqui, o vetor diretor de r₁ é dado pelos coeficientes das variáveis $ t $, ou seja, v₁ = (3m, 3, -4).
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta r₂:
Para encontrar o vetor diretor de r₂, precisamos reescrever essas equações em termos de um parâmetro, digamos $ s $. Vamos resolver para $ y $:
Então,
Portanto, o vetor diretor de r₂ é v₂ = (2, 1, -1).
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, v₁ = (3m, 3, -4) e v₂ = (2, 1, -1), podemos usar o conceito de ortogonalidade. Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for igual a zero.
O produto escalar é calculado assim:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Para que as retas sejam ortogonais, esse resultado deve ser igual a zero:
Passo 6
Agora, é só resolver essa equação para encontrar o valor de m:
Resposta
O valor de m que torna as retas r₁ e r₂ ortogonais é $ m = -\frac{7}{6} $.