Sabendo que A=u1, u2 e B=w1, w2 são bases do R^2 tais que [v]A=[r-1 0], w1=u1-u2 e w2=2 u1-3 u2, determine [v]B.

Passo 1

O enunciado diz que A=u1,u2 e B=w1,w2 são bases de R^2, que
[v]A=-10,
e que
w1=u1-u2, w2=2u1-3u2
Queremos encontrar [v]B, ou seja, as coordenadas de v na base B. Para isso, vamos primeiro escrever v em termos de u1 e u2 e depois expressar essa combinação em função de w1 e w2.

Passo 2

Como [v]A=l(-1,0r)^T, temos
v = -1cdot u1 + 0cdot u2 = -,u1

Passo 3

Vamos supor que
v = alpha,w1 + beta,w2
Como w1=u1-u2 e w2=2u1-3u2, isso dá
alpha,(u1-u2) + beta,(2u1-3u2) = (alpha+2beta),u1 + (-alpha-3beta),u2
Queremos que isso seja igual a -u1+0cdot u2. Assim montamos o sistema
alpha + 2beta = -1, -alpha - 3beta = 0

Passo 4

Da segunda equação -alpha -3beta=0 segue alpha = -3beta. Substituindo na primeira:
(-3beta) + 2beta = -1 Longrightarrow -,beta = -1 Longrightarrow beta = 1,
e então
alpha = -3beta = -3cdot1 = -3

Resposta

[v]B = -3[4pt]1 ]

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