Verifique se
e
são anéis isomorfos (com as operações de adição e multiplicação usuais).
Passo 1
O enunciado pergunta se os anéis
e
são isomorfos (com as operações usuais). Essas são, na verdade, extensões quadráticas de . Para mostrar que não há isomorfismo de anéis, vamos usar que qualquer isomorfismo de campos (ou anéis contendo
) necessariamente fixa
e envia
numa raiz do seu polinômio mínimo em
.
são isomorfos (com as operações usuais). Essas são, na verdade, extensões quadráticas de
Passo 2
Suponha que exista um isomorfismo de anéis
.
Como é identidade em
, temos
para todo
. Em particular,
deve ser um elemento de
cuja imagem satisfaça o polinômio mínimo de
, ou seja
Como
Passo 3
Escreva
com
. Então a condição
dá
Como
é base de
sobre
, isso implica o sistema
Passo 4
Do primeiro caso
seguem duas possibilidades:
-
. Então a segunda equação vira , ou seja . Mas não é quadrado em , logo não há . -
. Então a segunda equação vira , o que não admite solução em .
Em ambos os casos não se obtém
.
Passo 5
Não existe, portanto, elemento
cuja quadrado seja
. Logo não há como definir
de forma consistente, e não existe isomorfismo de anéis entre
e
.