Verifique se Q[raiz5]=a+b raiz5 mid a, b in Q e Q[raiz7]=a+b raiz7 mid a, b in Q são anéis isomorfos (com as operações de adição e multiplicação usuais).

Passo 1

O enunciado pergunta se os anéis
Q[raiz5]=a+braiz5mid a,binQ e
Q[raiz7]=a+braiz7mid a,binQ
são isomorfos (com as operações usuais). Essas são, na verdade, extensões quadráticas de Q. Para mostrar que não há isomorfismo de anéis, vamos usar que qualquer isomorfismo de campos (ou anéis contendo Q) necessariamente fixa Q e envia raiz5 numa raiz do seu polinômio mínimo em Q[raiz7].

Passo 2

Suponha que exista um isomorfismo de anéis
varphicolon Q[raiz5]to Q[raiz7].
Como varphi é identidade em Q, temos varphi(q)=q para todo qinQ. Em particular, varphi(raiz5) deve ser um elemento de Q[raiz7] cuja imagem satisfaça o polinômio mínimo de raiz5, ou seja
l(varphi(raiz5)r)^2 ;=;varphil((raiz5)^2r);=;varphi(5);=;5

Passo 3

Escreva
varphi(raiz5)=a+braiz7,
com a,binQ. Então a condição (a+braiz7)^2=5
a^2 + 2abraiz7 + 7b^2 = 5
Como 1,raiz7 é base de Q[raiz7] sobre Q, isso implica o sistema
2ab = 0, a^2 + 7b^2 = 5

Passo 4

Do primeiro caso 2ab=0 seguem duas possibilidades:
  1. a=0. Então a segunda equação vira 7b^2=5, ou seja b^2=tfrac57. Mas tfrac57 não é quadrado em Q, logo não há binQ.
  2. b=0. Então a segunda equação vira a^2=5, o que não admite solução em Q.
Em ambos os casos não se obtém a,binQ.

Passo 5

Não existe, portanto, elemento a+braiz7inQ[raiz7] cuja quadrado seja 5. Logo não há como definir varphi(raiz5) de forma consistente, e não existe isomorfismo de anéis entre Q[raiz5] e Q[raiz7].

Resposta

Q[raiz5] e Q[raiz7] não são isomorfos como anéis.

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