(a) Sejam alpha=1+x, 1-x base de P1(R) e p(x)=1+3 x in P1(R), determine [p(x)]alpha
(b) Sejam beta=1, x-1,(x-1)^2 base de P2(R) e p(x)=1+2 x-5 x^2 in P2(R), determine [p(x)]beta
(c) Seja gamma=x, 1+x^2, x+x^2 base de P2(R), determine p(x) in P2(R) tal que [p(x)]gamma=[c3 4 -5].
(d) Considere as bases beta e gamma de P2(R), dadas acima e determine as matrizes [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com coordenadas de polinômios em diferentes bases de Pn(R). Em cada item teremos de escrever um polinômio p(x) como combinação linear dos vetores de uma base e, a partir disso, determinar o vetor coluna de coordenadas [p(x)]B. No item (d) precisaremos ainda montar as matrizes de mudança de base entre beta e gamma.

Passo 2

Para (a), queremos
Expandindo, obtemos o sistema
Somando as equações dá , e daí . Assim

Passo 3

Para (b), escrevemos
c0cdot1+c1(x-1)+c2(x-1)^2=1+2x-5x^2
Expandindo o lado esquerdo:
c0-c1+c2 ;+;(c1-2c2),x;+;c2,x^2 =1+2x-5x^2
Igualando coeficientes:
c2=-5, c1-2(-5)=2implies c1=-8, c0-c1+c2=1implies c0+8-5=1implies c0=-2
Logo
[p(x)]beta=-2-8-5

Passo 4

Para (c), usamos diretamente as coordenadas em gamma=x,,1+x^2,,x+x^2:
p(x)=3cdot x+4cdot(1+x^2)-5cdot(x+x^2) =4-2x -x^2

Passo 5

Para (d), primeiro [I]gamma^beta: cada coluna é o vetor de gamma escrito na base beta.
  1. x = 1cdot1 +1,(x-1)+0,(x-1)^2 110.
  2. 1+x^2=2cdot1+2,(x-1)+1,(x-1)^2 221.
  3. x+x^2=2cdot1+3,(x-1)+1,(x-1)^2 231.
    Assim
[I]gamma^beta = 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1

Passo 6

Ainda em (d), [I]beta^gamma: cada coluna é um vetor de beta escrito em gamma=x,,1+x^2,,x+x^2.
  1. 1 =1cdot x +1,(1+x^2) -1,(x+x^2) 11-1.
  2. x-1=0cdot x -1,(1+x^2)+1,(x+x^2) 0-11.
  3. (x-1)^2= -2cdot x +1,(1+x^2)+0,(x+x^2) -210.
    Logo
[I]beta^gamma = 1 & 0 & -2 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0

Resposta

(a) [p(x)]alpha=2-1
(b) [p(x)]beta=-2-8-5
(c) p(x)=4-2x-x^2
(d)
[I]gamma^beta = 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 , [I]beta^gamma = 1 & 0 & -2 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0

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