Sabendo que
e
são matrizes
com
e
, calcule:
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes
com
e
. Pede-se calcular
.
Informações relevantes: ,
e
são quadradas (da mesma ordem), logo as operações indicadas fazem sentido.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil dos determinantes: para matrizes quadradas da mesma ordem vale
Isso significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Intuitivamente, o determinante mede a “escala de volume” que a transformação linear aplica; aplicar duas transformações em sequência multiplica essas escalas, por isso os determinantes se multiplicam.
Passo 3
Outra propriedade importante: para todo inteiro positivo
e matriz quadrada
tem-se
Justificativa rápida:
(produto de
cópias), aplicando repetidamente a propriedade do passo anterior obtemos a potência do determinante. Por exemplo,
Passo 4
Para expoentes negativos usamos que, se
é invertível, então
. Isso vem de
, logo
. Assim, para inteiro positivo
vale
Passo 5
Aplicando as propriedades acima ao nosso problema,
Pela propriedade de potências de determinantes,
Portanto
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos dados:
e
. Assim