Sabendo que A e B são matrizes 4 \times 4 com \operatorname{det} A=3 e \operatorname{det} B=10, calcule:
\operatorname{det}\left(A^{2} B^{-3}\right).

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes 4\times4 com \operatorname{det}A=3 e \operatorname{det}B=10. Pede-se calcular \operatorname{det}\bigl(A^{2}B^{-3}\bigr).
Informações relevantes: \operatorname{det}A=3, \operatorname{det}B=10 e A,B são quadradas (da mesma ordem), logo as operações indicadas fazem sentido.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil dos determinantes: para matrizes quadradas da mesma ordem vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
Isso significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Intuitivamente, o determinante mede a “escala de volume” que a transformação linear aplica; aplicar duas transformações em sequência multiplica essas escalas, por isso os determinantes se multiplicam.

Passo 3

Outra propriedade importante: para todo inteiro positivo k e matriz quadrada X tem-se
\operatorname{det}(X^{k})=(\operatorname{det}X)^{k}.
Justificativa rápida: X^{k}=X\cdot X\cdots X (produto de k cópias), aplicando repetidamente a propriedade do passo anterior obtemos a potência do determinante. Por exemplo,
\operatorname{det}(X^{2})=\operatorname{det}(X X)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}X=(\operatorname{det}X)^{2}.

Passo 4

Para expoentes negativos usamos que, se X é invertível, então \operatorname{det}(X^{-1})=(\operatorname{det}X)^{-1}. Isso vem de \operatorname{det}(X X^{-1})=\operatorname{det}I=1, logo \operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}(X^{-1})=1. Assim, para inteiro positivo k vale
\operatorname{det}(X^{-k})=\bigl(\operatorname{det}(X^{-1})\bigr)^{k}=(\operatorname{det}X)^{-k}.

Passo 5

Aplicando as propriedades acima ao nosso problema,
\operatorname{det}\bigl(A^{2}B^{-3}\bigr)=\operatorname{det}\bigl(A^{2}\bigr)\cdot\operatorname{det}\bigl(B^{-3}\bigr).
Pela propriedade de potências de determinantes,
\operatorname{det}\bigl(A^{2}\bigr)=(\operatorname{det}A)^{2},\qquad \operatorname{det}\bigl(B^{-3}\bigr)=(\operatorname{det}B)^{-3}.
Portanto
\operatorname{det}\bigl(A^{2}B^{-3}\bigr)=(\operatorname{det}A)^{2}\,(\operatorname{det}B)^{-3}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos dados: \operatorname{det}A=3 e \operatorname{det}B=10. Assim
\operatorname{det}\bigl(A^{2}B^{-3}\bigr)=3^{2}\cdot 10^{-3}=\frac{9}{1000}.

Resposta

\dfrac{9}{1000}

Exercícios relacionados