Sejam
e
duas sequências reais convergentes com limites
e
, respectivamente. Se
para todo
, podemos deduzir que
?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas sequências reais convergentes
e
cujos limites são, respectivamente,
e
. Sabe-se que
A pergunta é se disso podemos deduzir que
. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou propriedade de preservação de desigualdades no limite) para analisar.
Passo 2
Prova de que, sob
, necessariamente
Suponha, por contradição, que
. Então
. Como
e
, existem
tais que
sempre que
. Para
segue
Logo
o que contradiz
. Concluímos que a hipótese
é falsa, isto é,
.
Passo 3
Mostramos que não se pode garantir a desigualdade estrita
apenas a partir de
. Um contraexemplo simples: defina
Então
para todo
, mas
e
, de modo que
. Assim, apesar de cada
ser estritamente menor que
, os limites são iguais.
Resposta
Não. Só podemos concluir que
; pode acontecer
.