Sejam \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} e \left\{b_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} duas sequências reais convergentes com limites a e b, respectivamente. Se a_{n}<b_{n} para todo n, podemos deduzir que a<b ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas sequências reais convergentes \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} cujos limites são, respectivamente, a e b. Sabe-se que
a_n < b_n \quad\text{para todo \(n\).}
A pergunta é se disso podemos deduzir que a<b. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou propriedade de preservação de desigualdades no limite) para analisar.

Passo 2

Prova de que, sob a_n<b_n\;\forall n, necessariamente a \le b. Suponha, por contradição, que a>b. Então \delta = \tfrac{a - b}{3} > 0. Como a_n\to a e b_n\to b, existem N_1,N_2 tais que
|a_n - a| < \delta \quad\text{e}\quad |b_n - b| < \delta
sempre que n > N = \max(N_1,N_2). Para n>N segue
a_n > a - \delta = b + 3\delta - \delta = b + 2\delta, \quad b_n < b + \delta.
Logo
a_n > b + 2\delta > b_n + \delta > b_n,
o que contradiz a_n<b_n. Concluímos que a hipótese a>b é falsa, isto é, a\le b.

Passo 3

Mostramos que não se pode garantir a desigualdade estrita a<b apenas a partir de a_n<b_n. Um contraexemplo simples: defina
a_n = \frac{1}{n}, \quad b_n = \frac{2}{n}.
Então a_n<b_n para todo n, mas a_n\to0 e b_n\to0, de modo que a=b=0. Assim, apesar de cada a_n ser estritamente menor que b_n, os limites são iguais.

Resposta

Não. Só podemos concluir que a\le b; pode acontecer a=b.

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