Sabendo que 
  e 
 . Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que 
  e 
 . Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a) 
 
11a
Sabendo que
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função 
 . Queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente e, depois, determinar as assíntotas verticais dessa função.
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções utilizando a regra do quociente e análise de assíntotas verticais.
O que vamos precisar:
- Regra do quociente para derivadas.
 - Conhecimento das funções trigonométricas 
e .  - Identificação dos pontos onde a função não está definida para encontrar as assíntotas verticais.
 
Passo 2
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar 
 . A regra do quociente diz que, se temos uma função 
 , então a derivada 
  é:
No nosso caso, 
  e 
 . Precisamos encontrar 
  e 
 .
Passo 3
Calculando as derivadas de 
  e 
 :
- 
, então .  - 
, então .  
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Sabemos pela identidade trigonométrica que 
 , então:
Passo 5
Agora, vamos determinar as assíntotas verticais da função 
 . As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Na função 
 , a função não está definida quando 
 .
As soluções para 
  são:
Resposta
A derivada de 
  é 
 . As assíntotas verticais de 
  ocorrem em 
 , onde 
  é um inteiro.