Encontre o gradiente 
  e o Laplaciano 
  para o campo escalar
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente 
  e o Laplaciano 
  de um campo escalar dado por 
 . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como funções dependem de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e entender o que são gradiente e Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como 
  é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude mostra quão rápido a função está crescendo nessa direção. Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de 
  em relação a 
 . Isso significa que tratamos 
  como uma constante e diferenciamos com respeito a 
 :
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de 
  em relação a 
 . Aqui, tratamos 
  como uma constante:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos formar o gradiente 
  compondo essas derivadas em um vetor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o Laplaciano 
 . O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função com respeito a cada variável. Ou seja:
Passo 7
Calculando a segunda derivada parcial de 
  em relação a 
 :
E a segunda derivada parcial de 
  em relação a 
 :
Resposta
O gradiente de 
  é 
  e o Laplaciano de 
  é 
 .