1.Sabendo que:
\sin (x)=\frac{1}{2}, \quad x \in 1^{\circ} \text { quadrante }
Determine:
\begin{aligned} & \sin (-x) \\\ & \cos (-x) \\\ & \tan (-x) \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \sin(x)=\dfrac{1}{2}.
  • Condição adicional: x está no 1 ^\circ quadrante (ou seja, 0^\circ<x<90^\circ).
  • Pedidos:
    1. Calcular \sin(-x).
    2. Calcular \cos(-x).
    3. Calcular \tan(-x).

Passo 2

Interpretando o dado \sin(x)=\dfrac{1}{2} no 1 ^\circ quadrante.
  • A equação \sin(x)=\dfrac{1}{2} tem soluções típicas em graus: x=30^\circ e x=150^\circ (ou, em radianos, x=\dfrac{\pi}{6} e x=\dfrac{5\pi}{6}).
  • Como foi dado que x está no 1 ^\circ quadrante ( 0^\circ<x<90^\circ), a solução válida é x=30^\circ.
Isso já é útil porque conhece-se o ângulo exato.

Passo 3

Calcular \cos(x) a partir de \sin(x) usando a identidade pitagórica.
  • Identidade fundamental (que vale para qualquer x): \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.Explicando: \sin^{2}(x) significa (\sin(x))^{2}. Essa identidade vem do círculo trigonométrico e relaciona as componentes projetadas do ponto na circunferência unitária.
  • Substituindo \sin(x)=\dfrac{1}{2}: \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\cos^{2}(x)=1.Calculando: \dfrac{1}{4}+\cos^{2}(x)=1 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}(x)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
  • Assim \cos(x)=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.Agora precisamos escolher o sinal correto: no 1 ^\circ quadrante, tanto seno quanto cosseno são positivos, logo \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular \tan(x) a partir de \sin(x) e \cos(x).
  • Definição de tangente: \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.Aqui \sin(x)=\dfrac{1}{2} e \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então \tan(x)=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • É comum racionalizar o denominador: \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.Portanto \tan(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Relembrar as propriedades de paridade (sinal para ângulos negativos) das funções trigonométricas que vamos usar.
  • Propriedades: \sin(-x)=-\sin(x)\quad\text{(seno é função ímpar)},éçãí
\cos(-x)=\cos(x)\quad\text{(cosseno é função par)},éçã
\tan(-x)=-\tan(x)\quad\text{(tangente é ímpar)}.éí
  • Rápida justificativa (uma forma direta usando fórmulas de soma/subtração): \sin(-x)=\sin(0-x)=\sin0\cos x-\cos0\sin x=0\cdot\cos x-1\cdot\sin x=-\sin x.De modo análogo: \cos(-x)=\cos(0-x)=\cos0\cos x+\sin0\sin x=1\cdot\cos x+0=\cos x.E \tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tan x.

Passo 6

Aplicar as propriedades do passo anterior usando os valores que achamos.
  • Já temos \sin(x)=\dfrac{1}{2}, \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \tan(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • Então: \sin(-x)=-\sin(x)=-\dfrac{1}{2},
\cos(-x)=\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\tan(-x)=-\tan(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check) e conclusão encorajadora.
  • Verificação: sinais fazem sentido porque -x está no 4 ^\circ quadrante (se x é 30^\circ, -x=-30^\circ tem seno negativo e cosseno positivo; tangente negativa). Valores numéricos coincidem com esses sinais.
  • Vai dar certo na prova: memorize as identidades de paridade e a identidade pitagórica — com elas resolve a maior parte dessas questões rapidinho. Força aí, você consegue!

Resposta

\sin(-x)=-\dfrac{1}{2}
\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\tan(-x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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