Simplifique
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar cada uma das três expressões trigonométricas abaixo (ou seja, escrever cada uma numa forma mais simples e reconhecível):
Informações dadas: as expressões são funções trigonométricas de
(seno, cosseno e tangente). Não há valores numéricos de
fornecidos; o objetivo é transformar cada expressão em uma forma mais simples e padrão.
Passo 2
Fórmulas úteis que vamos usar (formas de soma de ângulos). Primeiro, a fórmula da soma para o seno: para quaisquer ângulos
e
,
Explanação: essa fórmula diz que o seno da soma é a soma de dois produtos: seno de um vezes cosseno do outro, e cosseno do primeiro vezes seno do segundo. Aqui
e
são variáveis que representam ângulos.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior com
(ou seja, somando o ângulo
consigo mesmo):
Somando os termos iguais do lado direito obtemos
Interpretação prática:
é exatamente a fórmula do seno do ângulo duplo
. Portanto a primeira expressão simplifica para
.
Passo 4
Agora a fórmula da soma para o cosseno: para quaisquer ângulos
e
,
Explicação: o cosseno da soma é o produto dos cossenos menos o produto dos senos.
Passo 5
Aplicando essa fórmula com
:
Isso é
Conclusão:
é exatamente
. Portanto a segunda expressão simplifica para
.
Passo 6
Complemento útil (opcional, mas bom saber): a identidade pitagórica
permite reescrever
em outras formas. Subtraindo
de ambos os lados ou manipulando, obtemos as formas equivalentes
São formas alternativas que aparecem com frequência em exercícios.
Passo 7
Agora a tangente do ângulo soma. Fórmula para a tangente da soma de dois ângulos
e
:
Observação: essa fórmula exige que os denominadores envolvidos não sejam zero (por exemplo,
,
e
devem ser diferentes de zero) — depois falo rápido sobre as restrições de domínio.
Passo 8
Aplicando a fórmula da tangente com
:
Portanto a terceira expressão simplifica diretamente para
.
Passo 9
Mostro também um caminho alternativo para a terceira expressão usando seno e cosseno (útil para ver que as coisas batem): comece por
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
no denominador do quociente:
Usando as identidades dos passos anteriores
e
, obtemos
confirmando a simplificação obtida pelo uso direto da fórmula da tangente.
Passo 10
Observações sobre domínio (quando a fórmula da tangente está bem definida): a expressão
exige que
, ou seja
. Equivalente a
porque nesses pontos o denominador é zero e a expressão original não está definida. Fora dessas restrições, a igualdade com
vale.