Simplifique
\begin{gathered}2 \sin (x) \cos (x) \\\ \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x) \\\ \frac{2 \tan (x)}{1-\tan ^{2}(x)}\end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar cada uma das três expressões trigonométricas abaixo (ou seja, escrever cada uma numa forma mais simples e reconhecível):
2\sin(x)\cos(x)
\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)
\frac{2\tan(x)}{1-\tan^{2}(x)}
Informações dadas: as expressões são funções trigonométricas de x (seno, cosseno e tangente). Não há valores numéricos de x fornecidos; o objetivo é transformar cada expressão em uma forma mais simples e padrão.

Passo 2

Fórmulas úteis que vamos usar (formas de soma de ângulos). Primeiro, a fórmula da soma para o seno: para quaisquer ângulos a e b,
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b).
Explanação: essa fórmula diz que o seno da soma é a soma de dois produtos: seno de um vezes cosseno do outro, e cosseno do primeiro vezes seno do segundo. Aqui a e b são variáveis que representam ângulos.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior com a=b=x (ou seja, somando o ângulo x consigo mesmo):
\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x).
Somando os termos iguais do lado direito obtemos
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Interpretação prática: 2\sin(x)\cos(x) é exatamente a fórmula do seno do ângulo duplo \sin(2x). Portanto a primeira expressão simplifica para \sin(2x).

Passo 4

Agora a fórmula da soma para o cosseno: para quaisquer ângulos a e b,
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b).
Explicação: o cosseno da soma é o produto dos cossenos menos o produto dos senos.

Passo 5

Aplicando essa fórmula com a=b=x:
\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x).
Isso é
\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x).
Conclusão: \cos^{2}(x)-\sin^{2}(x) é exatamente \cos(2x). Portanto a segunda expressão simplifica para \cos(2x).

Passo 6

Complemento útil (opcional, mas bom saber): a identidade pitagórica
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1
permite reescrever \cos(2x) em outras formas. Subtraindo 2\sin^{2}(x) de ambos os lados ou manipulando, obtemos as formas equivalentes
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)=2\cos^{2}(x)-1.
São formas alternativas que aparecem com frequência em exercícios.

Passo 7

Agora a tangente do ângulo soma. Fórmula para a tangente da soma de dois ângulos a e b:
\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}.
Observação: essa fórmula exige que os denominadores envolvidos não sejam zero (por exemplo, \cos a, \cos b e 1-\tan(a)\tan(b) devem ser diferentes de zero) — depois falo rápido sobre as restrições de domínio.

Passo 8

Aplicando a fórmula da tangente com a=b=x:
\tan(2x)=\tan(x+x)=\frac{\tan(x)+\tan(x)}{1-\tan(x)\tan(x)}=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^{2}(x)}.
Portanto a terceira expressão simplifica diretamente para \tan(2x).

Passo 9

Mostro também um caminho alternativo para a terceira expressão usando seno e cosseno (útil para ver que as coisas batem): comece por
\frac{2\tan(x)}{1-\tan^{2}(x)}=\frac{2\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1-\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador \cos^{2}(x) no denominador do quociente:
\frac{2\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\frac{\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}= \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)}.
Usando as identidades dos passos anteriores \;2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)\; e \;\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=\cos(2x)\;, obtemos
\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x),
confirmando a simplificação obtida pelo uso direto da fórmula da tangente.

Passo 10

Observações sobre domínio (quando a fórmula da tangente está bem definida): a expressão \dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^{2}(x)} exige que 1-\tan^{2}(x)\neq 0, ou seja \tan(x)\neq \pm 1. Equivalente a
x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z},
porque nesses pontos o denominador é zero e a expressão original não está definida. Fora dessas restrições, a igualdade com \tan(2x) vale.

Resposta

\sin(2x)
\cos(2x)
\tan(2x)

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