Determine
\cos (2 x), \quad \text { sabendo que } \cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Pedido: calcular \cos(2x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Está fornecido o valor de \cos(x).
  • Não é pedido determinar x explicitamente, apenas o valor de \cos(2x) em função dessa informação.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade fundamental que liga \cos(2x) a \cos(x) e \sin(x). A fórmula de adição para cosseno é
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Tomando \alpha=\beta=x obtemos a identidade do ângulo duplo:
\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x.
Explicar as variáveis: aqui \cos^2 x significa (\cos x)^2 e \sin^2 x significa (\sin x)^2.
Também podemos escrever essa identidade só em termos de \cos x usando \sin^2 x=1-\cos^2 x (identidade pitagórica):
\cos(2x)=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1.
Essa forma é prática quando se conhece \cos x, porque elimina \sin x.

Passo 3

Calcular \cos^2 x a partir do valor dado:
\cos^2 x=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
Expliquei passo a passo: primeiro elevar \sqrt{2} ao quadrado dá 2; o denominador 2^2 é 4; então o quociente é 2/4=1/2.

Passo 4

Substituir \cos^2 x=\dfrac{1}{2} na forma conveniente da identidade:
\cos(2x)=2\cos^2 x-1=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=1-1=0.
Portanto, usando a identidade do ângulo duplo e o valor dado de \cos x, obtemos \cos(2x)=0.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, só para confirmar): se \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} então x pode ser, por exemplo, x=\dfrac{\pi}{4} ou x=-\dfrac{\pi}{4} (mais 2k\pi). Para esses valores,
\cos(2x)=\cos\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,
confirmando o resultado obtido.

Resposta

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