Um cilindro de aço com
com 6 ft de altura e
de diâmetro, sai de um forno a
e é transportado na vertical exposto ao ar até um local de 150 m de distância do forno por meio de um ponto rolante. Sendo
a temperatura ambiente e admitindo-se uma perda máxima de
durante o transporte. Pergunta-se, se este transporte será válido, sabendose que a parte rolante tem uma velocidade constante de
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de aço vertical com as seguintes informações (vou listar tudo que aparece no enunciado, com as unidades originais e com símbolos que usarei depois):
-
Condições iniciais:
- Temperatura inicial do cilindro:
. - Temperatura ambiente:
. - Perda máxima admissível durante o transporte:
.
- Temperatura inicial do cilindro:
-
Geometria do cilindro:
- Altura (vou chamar de
): . - Diâmetro:
→ raio .
- Altura (vou chamar de
-
Propriedades do aço:
- Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Calor específico:
.
- Condutividade térmica:
-
Convecção e movimento:
- Coeficiente de convecção (dado):
. - Distância do transporte:
. - Velocidade da parte rolante:
.
- Coeficiente de convecção (dado):
-
Pergunta explícita: “Este transporte será válido?”, ou seja, durante o tempo de transporte a temperatura do cilindro não deve cair mais que
.
Observação: precisaremos comparar a queda real calculada com a máxima admissível.
Passo 2
Decidir o método de resolução (resumido e justificado): para problemas de resfriamento/transiente de um corpo sólido no ar, existe um método simples chamado “método da capacitância concentrada” (lumped capacitance), que supõe que a temperatura do corpo é uniforme ao longo do volume durante o resfriamento. Essa hipótese é válida quando o número de Biot
é pequeno (regra prática:
). Então vamos:
- calcular o comprimento característico
do cilindro, - calcular
, - se
usamos o modelo lumped (fórmula exponencial simples).
Vou explicar cada coisa à medida que for usando.
Passo 3
Calcular volume
e área de superfície externa
do cilindro (dados geométricos necessários para
e para a equação do método lumped).
Fórmulas:
Substituindo
e
:
Calcule
:
Calcule
:
(Arredondei aos dígitos mostrados; mantenho mais casas nos cálculos internos.)
Passo 4
Calcular o comprimento característico
e o número de Biot
.
Definição:
Substituindo:
Agora o número de Biot:
onde
e
. Então
Interpretação:
. Portanto a condição para usar o método lumped (capacitância concentrada) está satisfeita — a temperatura dentro do corpo pode ser considerada praticamente uniforme durante o resfriamento. Isso justifica usar a solução exponencial simples. (Explicação didática: Bi pequeno indica que a resistência interna à condução é muito pequena comparada à resistência convectiva de superfície; assim a temperatura interna se equaliza muito rápido e o corpo troca calor com o ambiente como um único “bloco”.)
Passo 5
Equação do método lumped e explicação das variáveis.
Para um corpo com temperatura uniforme T(t) trocando calor por convecção com fluido à temperatura
, a solução é:
onde
-
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura inicial do corpo, -
é a temperatura do fluido ambiente, -
é o coeficiente de convecção, -
é a área de superfície externa, -
é a densidade do material, -
é o volume do corpo, -
é o calor específico do material, -
é o tempo (unidade consistente com , aqui horas).
Observação sobre unidades:
foi dado em
, então o tempo
deve ficar em horas para consistência.
Passo 6
Calcular o tempo de transporte em horas.
Dados: distância
e velocidade
.
Converter distância para pés (1 m = 3,28084 ft):
Converter velocidade para ft/min:
Tempo em minutos:
Tempo em horas (pois
está por hora):
Passo 7
Calcular o termo exponencial
e a temperatura final
.
Primeiro calcular
(é a capacidade térmica do corpo, em
):
Calcular
:
Logo a constante de decaimento por hora é:
Multiplicando por
:
Portanto o fator exponencial:
Agora a temperatura no final do transporte:
Queda de temperatura durante o transporte:
Passo 8
Interpretação final e resposta ao problema: a queda real calculada de aproximadamente
é muito menor que a perda máxima admissível de
. Portanto o transporte é válido segundo os dados e hipóteses (usando o modelo lumped, que foi verificado como aplicável pelo cálculo de
).
Observações finais rápidas (didáticas e empáticas): vimos passo a passo como checar se a hipótese de temperatura uniforme vale (calcular
), como obter a equação exponencial e como manter consistência de unidades (tempo em horas porque
é por hora). Dá para ver que o cilindro, sendo relativamente pequeno e com boa condutividade, não esfria muito durante esse trajeto rápido — então fique tranquilo, seu transporte está seguro dentro do critério pedido.
Resposta
Sim. Temperatura final aproximada
(queda
), portanto a perda é muito menor que
; transporte válido.