Um cilindro de aço com \mathrm{K}=34\left(\mathrm{BTU} / \mathrm{jft}{ }^{\circ} \mathrm{F}\right) com 6 ft de altura e 0,5 \mathrm{ft} de diâmetro, sai de um forno a 2100^{\circ} \mathrm{F} e é transportado na vertical exposto ao ar até um local de 150 m de distância do forno por meio de um ponto rolante. Sendo 100^{\circ} \mathrm{F} a temperatura ambiente e admitindo-se uma perda máxima de 200^{\circ} \mathrm{F} durante o transporte. Pergunta-se, se este transporte será válido, sabendose que a parte rolante tem uma velocidade constante de 60(\mathrm{~m} / \mathrm{min}) . \boldsymbol{\rho}_{\text {aço }}=\mathbf{4 9 0}\left(\mathbf{l b m} / \mathbf{f t}^{\mathbf{3}}\right), \mathbf{h}=\mathbf{2 , 9} \boldsymbol{(} \mathbf{B T U} / \mathbf{h f t}^{\mathbf{2 0}} \mathbf{F} \boldsymbol{)}, \mathbf{C}_{\mathbf{a c ̧ o}} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 7}\left(\mathbf{B T U} / \mathbf{l b m}^{\mathbf{0}} \mathbf{F}\right)ç̧

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de aço vertical com as seguintes informações (vou listar tudo que aparece no enunciado, com as unidades originais e com símbolos que usarei depois):
  • Condições iniciais:
    • Temperatura inicial do cilindro: \;T_i=2100^\circ\mathrm{F}.
    • Temperatura ambiente: \;T_\infty=100^\circ\mathrm{F}.
    • Perda máxima admissível durante o transporte: \;200^\circ\mathrm{F}.
  • Geometria do cilindro:
    • Altura (vou chamar de H): \;H=6\\ \mathrm{ft}.
    • Diâmetro: \;D=0,5\\ \mathrm{ft} → raio \;r=\tfrac{D}{2}=0,25\\ \mathrm{ft}.
  • Propriedades do aço:
    • Condutividade térmica: \;k=34\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h\;ft\;^\circ F}).
    • Densidade: \;\rho=490\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
    • Calor específico: \;c=0,7\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{lbm\;^\circ F}).
  • Convecção e movimento:
    • Coeficiente de convecção (dado): \;h_c=2,9\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h\;ft^2\;^\circ F}).
    • Distância do transporte: \;150\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade da parte rolante: \;60\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.
  • Pergunta explícita: “Este transporte será válido?”, ou seja, durante o tempo de transporte a temperatura do cilindro não deve cair mais que \;200^\circ\mathrm{F}.
    Observação: precisaremos comparar a queda real calculada com a máxima admissível.

Passo 2

Decidir o método de resolução (resumido e justificado): para problemas de resfriamento/transiente de um corpo sólido no ar, existe um método simples chamado “método da capacitância concentrada” (lumped capacitance), que supõe que a temperatura do corpo é uniforme ao longo do volume durante o resfriamento. Essa hipótese é válida quando o número de Biot \;Bi=\dfrac{h_c L_c}{k} é pequeno (regra prática: \;Bi<0{,}1). Então vamos:
  1. calcular o comprimento característico \;L_c do cilindro,
  2. calcular \;Bi,
  3. se \;Bi<0{,}1 usamos o modelo lumped (fórmula exponencial simples).
    Vou explicar cada coisa à medida que for usando.

Passo 3

Calcular volume \;V e área de superfície externa \;A_s do cilindro (dados geométricos necessários para L_c=V/A_s e para a equação do método lumped).
Fórmulas:
V = \pi r^2 H
A_s = \text{área lateral} + \text{área das duas bases} = 2\pi r H + 2\pi r^2áá
Substituindo r=0,25\\ \mathrm{ft} e H=6\\ \mathrm{ft}:
Calcule V:
V = \pi \cdot (0,25)^2 \cdot 6 = \pi \cdot 0,0625 \cdot 6 = \pi \cdot 0,375 \approx 1{,}1781\\ \mathrm{ft}^3
Calcule A_s:
A_s = 2\pi (0,25) \cdot 6 + 2\pi (0,25)^2 = 3\pi + 0{,}125\pi = 3{,}125\pi \approx 9{,}8175\\ \mathrm{ft}^2
(Arredondei aos dígitos mostrados; mantenho mais casas nos cálculos internos.)

Passo 4

Calcular o comprimento característico \;L_c e o número de Biot \;Bi.
Definição:
L_c=\frac{V}{A_s}
Substituindo:
L_c = \frac{1{,}1781}{9{,}8175} \approx 0{,}1200\\ \mathrm{ft}
Agora o número de Biot:
Bi = \frac{h_c L_c}{k}
onde h_c=2,9 e k=34. Então
Bi = \frac{2{,}9 \times 0{,}1200}{34} \approx \frac{0{,}348}{34} \approx 0{,}0102
Interpretação: \;Bi\approx 0{,}0102 \ll 0{,}1. Portanto a condição para usar o método lumped (capacitância concentrada) está satisfeita — a temperatura dentro do corpo pode ser considerada praticamente uniforme durante o resfriamento. Isso justifica usar a solução exponencial simples. (Explicação didática: Bi pequeno indica que a resistência interna à condução é muito pequena comparada à resistência convectiva de superfície; assim a temperatura interna se equaliza muito rápido e o corpo troca calor com o ambiente como um único “bloco”.)

Passo 5

Equação do método lumped e explicação das variáveis.
Para um corpo com temperatura uniforme T(t) trocando calor por convecção com fluido à temperatura \;T_\infty, a solução é:
T(t) - T_\infty = \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\exp\!\biggl(-\frac{h_c A_s}{\rho V c}\,t\biggr)
onde
  • \;T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
  • \;T_i é a temperatura inicial do corpo,
  • \;T_\infty é a temperatura do fluido ambiente,
  • \;h_c é o coeficiente de convecção,
  • \;A_s é a área de superfície externa,
  • \;\rho é a densidade do material,
  • \;V é o volume do corpo,
  • \;c é o calor específico do material,
  • \;t é o tempo (unidade consistente com h_c, aqui horas).
Observação sobre unidades: \;h_c foi dado em \mathrm{BTU}/(\mathrm{h\;ft^2\;^\circ F}), então o tempo t deve ficar em horas para consistência.

Passo 6

Calcular o tempo de transporte em horas.
Dados: distância =150\\ \mathrm{m} e velocidade =60\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.
Converter distância para pés (1 m = 3,28084 ft):
150\\ \mathrm{m} = 150 \times 3{,}28084 \approx 492{,}126\\ \mathrm{ft}
Converter velocidade para ft/min:
60\\ \mathrm{m}/\mathrm{min} = 60 \times 3{,}28084 \approx 196{,}850\\ \mathrm{ft}/\mathrm{min}
Tempo em minutos:
t_{\min} = \frac{\text{distância (ft)}}{\text{velocidade (ft/min)}} = \frac{492{,}126}{196{,}850} = 2{,}5\\ \mathrm{min}â
Tempo em horas (pois h_c está por hora):
t = \frac{2{,}5}{60} = 0{,}0416667\\ \mathrm{h} \; (= \tfrac{1}{24}\\ \mathrm{h})

Passo 7

Calcular o termo exponencial \;\dfrac{h_c A_s}{\rho V c} e a temperatura final T(t).
Primeiro calcular \rho V c (é a capacidade térmica do corpo, em \mathrm{BTU}/^\circ F):
\rho V c = 490 \times 1{,}1781 \times 0{,}7 \approx 404{,}09\\ \mathrm{BTU}/^\circ F
Calcular h_c A_s:
h_c A_s = 2{,}9 \times 9{,}8175 \approx 28{,}4708\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{h\;^\circ F})
Logo a constante de decaimento por hora é:
\frac{h_c A_s}{\rho V c} = \frac{28{,}4708}{404{,}09} \approx 0{,}07047\\ \mathrm{h}^{-1}
Multiplicando por t=0{,}0416667\\ \mathrm{h}:
\text{expoente} = -\frac{h_c A_s}{\rho V c}\,t \approx -0{,}07047 \times 0{,}0416667 \approx -0{,}002936
Portanto o fator exponencial:
\exp(-0{,}002936) \approx 0{,}997066
Agora a temperatura no final do transporte:
T(t) = T_\infty + (T_i - T_\infty)\exp(-\tfrac{h_c A_s}{\rho V c}t)
T(t) = 100 + (2100-100)\times 0{,}997066 = 100 + 2000\times 0{,}997066 \approx 100 + 1994{,}132 \approx 2094{,}132^\circ\mathrm{F}
Queda de temperatura durante o transporte:
\Delta T = T_i - T(t) = 2100 - 2094{,}132 \approx 5{,}868^\circ\mathrm{F}

Passo 8

Interpretação final e resposta ao problema: a queda real calculada de aproximadamente \;5{,}9^\circ\mathrm{F} é muito menor que a perda máxima admissível de \;200^\circ\mathrm{F}. Portanto o transporte é válido segundo os dados e hipóteses (usando o modelo lumped, que foi verificado como aplicável pelo cálculo de Bi).
Observações finais rápidas (didáticas e empáticas): vimos passo a passo como checar se a hipótese de temperatura uniforme vale (calcular Bi), como obter a equação exponencial e como manter consistência de unidades (tempo em horas porque h_c é por hora). Dá para ver que o cilindro, sendo relativamente pequeno e com boa condutividade, não esfria muito durante esse trajeto rápido — então fique tranquilo, seu transporte está seguro dentro do critério pedido.

Resposta

Sim. Temperatura final aproximada T(t)\approx 2094{,}1^\circ\mathrm{F} (queda \approx 5{,}9^\circ\mathrm{F}), portanto a perda é muito menor que 200^\circ\mathrm{F}; transporte válido.

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