8- Sabendo-se que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=2, pode-se afirmar que \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} também converge? Em caso afirmativo qual é a sua soma? ( 0,5 ponto)

Passo 1

O enunciado diz que já sabemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=2,
e pergunta se a “cauda”
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{2^n}
também converge e qual é seu valor. Estamos diante de uma série geométrica, e para resolver vamos usar a ideia de subtrair dos termos iniciais da soma total.

Passo 2

Calculamos a soma dos três primeiros termos, de n=0 a n=2:
\sum_{n=0}^{2}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} = 1 + \tfrac12 + \tfrac14 = \tfrac74.

Passo 3

A soma da parte que vai de n=3 a infinito é a diferença entre a soma total e a soma dos três primeiros termos:
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 2 - \tfrac74 = \tfrac{8}{4} - \tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4}.

Resposta

A série converge e sua soma vale \tfrac{1}{4}.

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