Encontre o intervalo de convergência e o raio de convergência da seguinte série de potências: ( 1,5 ponto)
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-3)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x_{0}=3:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{n}.
Queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, ou seja, para quais x a série converge.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{n}:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{\bigl|x-3\bigr|^{\,n+1}}{n+1}\,\frac{n}{\bigl|x-3\bigr|^{\,n}} =\bigl|x-3\bigr|\frac{n}{n+1}.
Tomando o limite n\to\infty,
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\bigl|x-3\bigr|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é,
\bigl|x-3\bigr|<1.
Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

O interior do intervalo de convergência é dado por
\bigl|x-3\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad 2<x<4.

Passo 4

Testando o endpoint x=4:
x=4\;\Longrightarrow\;(x-3)=1 \quad\text{e a série vira}\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.é
Essa é a série alternada \sum(-1)^{n}/n, que converge pelo teste de Leibniz (os termos \tfrac1n vão a zero e são decrescentes). Portanto em x=4 há convergência (condicional).

Passo 5

Testando o endpoint x=2:
x=2\;\Longrightarrow\;(x-3)=-1 \quad\text{e a série fica}\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},é
que é a série harmônica e diverge. Logo em x=2 não há convergência.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(2,4].

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