Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Para as séries convergentes encontre o valor da soma. Justifique suas respostas. ( 1,5 ponto) \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n}
Passo 1
O exercício nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n},
que é uma série geométrica de termo geral \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{n}. Para analisar sua convergência, vamos usar o critério clássico para séries geométricas: ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Nesse caso, se convergisse, a soma seria
S = \frac{a_{1}}{1-r},
onde a_{1} é o primeiro termo e r a razão.
Passo 2
Identificamos
r = -\frac{5}{3}, \qquad a_{1} = \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{1} = -\frac{5}{3}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{5}{3} > 1, a condição de convergência \lvert r\rvert<1 não se cumpre. Portanto, a série não converge e não possui soma finita.
Resposta
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n}
diverge.