Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Para as séries convergentes encontre o valor da soma. Justifique suas respostas. ( 1,5 ponto)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n}

Passo 1

O exercício nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n},
que é uma série geométrica de termo geral \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{n}. Para analisar sua convergência, vamos usar o critério clássico para séries geométricas: ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Nesse caso, se convergisse, a soma seria
S = \frac{a_{1}}{1-r},
onde a_{1} é o primeiro termo e r a razão.

Passo 2

Identificamos
r = -\frac{5}{3}, \qquad a_{1} = \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{1} = -\frac{5}{3}.
Calculamos o módulo da razão:
\lvert r\rvert = \left\lvert -\tfrac{5}{3}\right\rvert = \frac{5}{3}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert = \tfrac{5}{3} > 1, a condição de convergência \lvert r\rvert<1 não se cumpre. Portanto, a série não converge e não possui soma finita.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n}
diverge.

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