Sabendo que t^{-\frac{1}{2}} sent e t^{-\frac{1}{2}} \cos t são soluções linearmente independentes da equação t^{t} \ddot{y}+t \dot{y}+\left(t^{2}-\right. \left.\frac{1}{4}\right) y=0, t>0, determine a solução geral de t^{t} \ddot{y}+t \dot{y}+\left(t^{2}-\frac{1}{4}\right) y=3 t^{\frac{3}{2}} sent .
Passo 1
O enunciado é a equação
t^{2}\ddot y + t\dot y + \Bigl(t^{2}-\tfrac14\Bigr)y = 3\,t^{\tfrac32}\sin t, \quad t>0,
cuja parte homogênea
t^{2}\ddot y + t\dot y + \Bigl(t^{2}-\tfrac14\Bigr)y = 0
é a equação de Bessel de ordem \nu=\tfrac12. Já sabemos duas soluções independentes do homogêneo:
y_{1}(t)=t^{-\tfrac12}\sin t, \quad y_{2}(t)=t^{-\tfrac12}\cos t.
O objetivo é usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea e, então, obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
\ddot y + \frac1t\,\dot y + \Bigl(1-\frac1{4t^{2}}\Bigr)y =3\,t^{-\tfrac12}\sin t.
A solução geral do homogêneo é
y_{h}(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t) = C_{1}\,t^{-\tfrac12}\sin t + C_{2}\,t^{-\tfrac12}\cos t.
Passo 3
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano