Sabendo que t^{-\frac{1}{2}} sent e t^{-\frac{1}{2}} \cos t são soluções linearmente independentes da equação t^{t} \ddot{y}+t \dot{y}+\left(t^{2}-\right. \left.\frac{1}{4}\right) y=0, t>0, determine a solução geral de t^{t} \ddot{y}+t \dot{y}+\left(t^{2}-\frac{1}{4}\right) y=3 t^{\frac{3}{2}} sent .

Passo 1

O enunciado é a equação
t^{2}\ddot y + t\dot y + \Bigl(t^{2}-\tfrac14\Bigr)y = 3\,t^{\tfrac32}\sin t, \quad t>0,
cuja parte homogênea
t^{2}\ddot y + t\dot y + \Bigl(t^{2}-\tfrac14\Bigr)y = 0
é a equação de Bessel de ordem \nu=\tfrac12. Já sabemos duas soluções independentes do homogêneo:
y_{1}(t)=t^{-\tfrac12}\sin t, \quad y_{2}(t)=t^{-\tfrac12}\cos t.
O objetivo é usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea e, então, obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
\ddot y + \frac1t\,\dot y + \Bigl(1-\frac1{4t^{2}}\Bigr)y =3\,t^{-\tfrac12}\sin t.
A solução geral do homogêneo é
y_{h}(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t) = C_{1}\,t^{-\tfrac12}\sin t + C_{2}\,t^{-\tfrac12}\cos t.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix}.
Calculando y_{1}' e y_{2}' e fazendo a diferença,
obtém-se
W(t)=-\frac1t.

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros dá
y_{p}(t) = -y_{1}(t)\int \frac{y_{2}(t)\,R(t)}{W(t)}\,dt + y_{2}(t)\int \frac{y_{1}(t)\,R(t)}{W(t)}\,dt,
onde R(t)=3\,t^{-\tfrac12}\sin t.
Calculamos primeiro
\frac{y_{2}R}{W} = \frac{t^{-\tfrac12}\cos t\;\cdot 3\,t^{-\tfrac12}\sin t}{-1/t} = -3\cos t\sin t,
logo
\int \frac{y_{2}R}{W}\,dt = -3\int \cos t\sin t\,dt = -\tfrac32\sin^{2}t.
Em seguida,
\frac{y_{1}R}{W} = \frac{t^{-\tfrac12}\sin t\;\cdot 3\,t^{-\tfrac12}\sin t}{-1/t} = -3\sin^{2}t,
portanto
\int \frac{y_{1}R}{W}\,dt = -3\!\int \sin^{2}t\,dt = -\tfrac32\,t + \tfrac34\sin(2t).

Passo 5

Substituindo nas fórmulas:
y_{p}(t) = -y_{1}(t)\bigl(-\tfrac32\sin^{2}t\bigr) + y_{2}(t)\Bigl(-\tfrac32\,t + \tfrac34\sin(2t)\Bigr).
Usando y_{1}=t^{-\tfrac12}\sin t, y_{2}=t^{-\tfrac12}\cos t
e \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, chega-se a
y_{p}(t) =\frac32\,t^{-\tfrac12}\sin t -\frac32\,t^{\tfrac12}\cos t.
Logo a solução geral é
y(t) = C_{1}\,t^{-\tfrac12}\sin t + C_{2}\,t^{-\tfrac12}\cos t +\frac32\,t^{-\tfrac12}\sin t -\frac32\,t^{\tfrac12}\cos t.

Resposta

\boxed{ y(t) = C_{1}\,t^{-\tfrac12}\sin t + C_{2}\,t^{-\tfrac12}\cos t +\frac32\,t^{-\tfrac12}\sin t -\frac32\,t^{\tfrac12}\cos t }.

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