Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}+y=\cos t \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
\ddot y + y = \cos t \,\cos 2t.
O método a usar é o de coeficientes indeterminados. Vamos primeiro simplificar o termo forçante usando identidades trigonométricas e depois propor um ansatz adequado, levando em conta possível ressonância.

Passo 2

Usamos a identidade de produto para soma:
\cos t\cos2t = \tfrac12\bigl(\cos3t + \cos t\bigr).
Logo a equação fica
\ddot y + y = \tfrac12\cos3t + \tfrac12\cos t.

Passo 3

Para o termo \cos3t não há ressonância com a homogênea ( r^2+1=0 r=\pm i), então propomos
\;y_1 = A\cos3t + B\sin3t.
Já para o termo \cos t há ressonância, pois r=\pm i corresponde a \cos t e \sin t. Então multiplicamos por t:
\;y_2 = t\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr).
Assim, o ansatz para a solução particular é
y_p = A\cos3t + B\sin3t + t\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr).

Passo 4

Calculamos \ddot y_p + y_p em duas partes:
  1. Para y_1 = A\cos3t + B\sin3t:
    y_1''+y_1 = (-9A\cos3t -9B\sin3t) + (A\cos3t + B\sin3t) = -8A\cos3t -8B\sin3t.
  2. Para y_2 = t(C\cos t + D\sin t), após derivar duas vezes e somar y_2, obtém-se
    y_2''+y_2 = -2C\sin t + 2D\cos t.
Somando as duas partes:
\ddot y_p + y_p = -8A\cos3t -8B\sin3t \;+\; 2D\cos t -2C\sin t.

Passo 5

Igualando ao forçamento \tfrac12\cos3t + \tfrac12\cos t, obtemos o sistema de coeficientes:
-8A = \tfrac12,\quad -8B = 0,\quad 2D = \tfrac12,\quad -2C = 0.
Daí
A = -\tfrac1{16},\quad B = 0,\quad C = 0,\quad D = \tfrac14.
Substituindo em y_p segue a solução particular buscada.

Resposta

y_p(t) = -\tfrac{1}{16}\cos(3t) \;+\; \tfrac{1}{4}\,t\sin(t).

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