Encontre a solução geral, usando o método de variação de parâmetros para determinar a solução particular, das seguintes equações:
\ddot{y}-4 \dot{y}+3 y=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}-4\dot{y}+3y=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}.
Vamos usar o método de variação de parâmetros, que exige primeiro resolver a parte homogênea e depois determinar uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
r^{2}-4r+3=0,
cuja solução é r=1 e r=3. Portanto a solução geral homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t}.

Passo 3

Tomamos as duas soluções fundamentais
y_{1}=e^{t},\quad y_{2}=e^{3t}.
O Wronskiano é
W=\begin{vmatrix}e^{t}&e^{3t}\e^{t}&3e^{3t}\end{vmatrix} =2e^{4t}.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}'=-\frac{f(t)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{f(t)\,y_{1}}{W},
onde f(t)=\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}.

Passo 4

Calcular u_{1}':
u_{1}'=-\frac{\frac{e^{t}}{1+e^{t}}\;e^{3t}}{2e^{4t}} =-\frac{1}{2(1+e^{t})}.
Logo
u_{1}=-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{1+e^{t}}.
Fazendo v=1+e^{t}, dv=e^{t}dt, obtemos por frações parciais
\int\frac{dt}{1+e^{t}} =\int\frac{dv}{v(v-1)} =\ln(v-1)-\ln(v) =t-\ln(1+e^{t}).
Portanto
u_{1}=-\frac{1}{2}\bigl(t-\ln(1+e^{t})\bigr).

Passo 5

Calcular u_{2}':
u_{2}'=\frac{\frac{e^{t}}{1+e^{t}}\;e^{t}}{2e^{4t}} =\frac{1}{2e^{2t}(1+e^{t})}.
Use x=e^{t}, dx=e^{t}dt, então
u_{2} =\frac12\int\frac{dx}{x^{3}(1+x)}.
Por frações parciais
\frac1{x^{3}(1+x)} =\frac1{x}-\frac1{x^{2}}+\frac1{x^{3}}-\frac1{1+x},
segue
u_{2} =\frac12\Bigl(\ln x+\frac1{x}-\frac1{2x^{2}}-\ln(1+x)\Bigr).
Voltamdo a t:
u_{2} =\frac{t}{2}+\frac{e^{-t}}{2}-\frac{1}{4e^{2t}} -\frac12\ln(1+e^{t}).

Passo 6

A solução particular é
y_{p}=u_{1}e^{t}+u_{2}e^{3t}.
Substituindo u_{1} e u_{2} e simplificando, obtém-se
y_{p} =\frac{e^{3t}-e^{t}}{2}\bigl(t-\ln(1+e^{t})\bigr) +\frac{2e^{2t}-e^{t}}{4}.

Passo 7

A solução geral da equação original é
y(t) =C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t} +\frac{e^{3t}-e^{t}}{2}\bigl(t-\ln(1+e^{t})\bigr) +\frac{2e^{2t}-e^{t}}{4}.

Resposta

y(t) =C_{1}e^{t}+C_{2}e^{3t} +\frac{e^{3t}-e^{t}}{2}\bigl(t-\ln(1+e^{t})\bigr) +\frac{2e^{2t}-e^{t}}{4}.

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