Seja V=P_{3}(\mathbb{R}) com base ordenada \mathcal{B}=\left\{3,2 t,-t^{2}\right\}. Determine o vetor \vec{v} \in V cujas coordenadas em relação à base \mathcal{B} sejam 2,-2 e 3 .

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = P_{3}(\mathbb{R}) com base ordenada
\mathcal{B} = \{\,3,\;2t,\;-t^{2}\}
e pede o polinômio \vec v\in V cujas coordenadas em relação a \mathcal{B} são
[\vec v]_{\mathcal{B}} = (2,\,-2,\,3).
Para resolver, usamos a definição de coordenadas: se [\vec v]_{\mathcal{B}} = (a,b,c), então
\displaystyle \vec v = a\cdot e_{1} + b\cdot e_{2} + c\cdot e_{3},
onde e_{1},e_{2},e_{3} são os vetores da base.

Passo 2

Aplicando essa definição ao nosso caso, temos
\vec v = 2\cdot 3 + (-2)\cdot 2t + 3\cdot(-t^{2}).
Bast a distribuir os coeficientes:

Passo 3

\vec v = 6 \;-\; 4t \;-\; 3t^{2}.

Resposta

\vec v(t) = -3t^{2} \;-\; 4t \;+\; 6.

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