Sejam
e
subespaços de
.
Encontre uma base e a dimensão de
e
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
– , um hiperplano dado por uma equação linear.
– , o espaço gerado por dois vetores.
Precisamos encontrar para cada um deles uma base, sua dimensão, além de fazer o mesmo para e
. Usaremos parametrização para
, exame de independência para
, resolução de um sistema para
e a fórmula de dimensão para
.
–
–
Precisamos encontrar para cada um deles uma base, sua dimensão, além de fazer o mesmo para
Passo 2
Para descrever
note que
implica
. Assim um vetor genérico de
é
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Pelos geradores de
, temos
Eles não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes. Assim uma base de
é
e
.
Passo 4
Um vetor genérico de
é
Para estar em
deve satisfazer
, ou seja
. Logo
Assim
Passo 5
Pela fórmula
Como
tem dimensão 4, segue que
. Uma base explícita de
pode ser obtida pegando a base de
e acrescentando um vetor de
fora de
; por exemplo
não satisfaz
, então
é base de
.
Resposta
U: base
,
.
W: base ,
.
: base
,
.
: base
,
.
W: base