Sejam U=\{(x, y, z, t) ; y+z+t=0\} e W=\langle(1,-1,0,0),(0,0,2,1)\rangle subespaços de \mathbb{R}^{4}.
Encontre uma base e a dimensão de U, W, U \cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^4:
U=\{(x,y,z,t)\mid y+z+t=0\}, um hiperplano dado por uma equação linear.
W=\langle(1,-1,0,0),(0,0,2,1)\rangle, o espaço gerado por dois vetores.
Precisamos encontrar para cada um deles uma base, sua dimensão, além de fazer o mesmo para U\cap W e U+W. Usaremos parametrização para U, exame de independência para W, resolução de um sistema para U\cap W e a fórmula de dimensão para U+W.

Passo 2

Para descrever U note que y+z+t=0 implica t=-y-z. Assim um vetor genérico de U é
(x,y,z,t) = (x,y,z,-y-z) = x\,(1,0,0,0) + y\,(0,1,0,-1) + z\,(0,0,1,-1).
Logo uma base de U é
\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\},
e \dim(U)=3.

Passo 3

Pelos geradores de W, temos
v_1=(1,-1,0,0),\quad v_2=(0,0,2,1).
Eles não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes. Assim uma base de W é
\{(1,-1,0,0),\,(0,0,2,1)\},
e \dim(W)=2.

Passo 4

Um vetor genérico de W é
\alpha(1,-1,0,0)+\beta(0,0,2,1) = (\alpha,-\alpha,2\beta,\beta).
Para estar em U deve satisfazer -\alpha + 2\beta + \beta=0, ou seja \alpha=3\beta. Logo
(\alpha,-\alpha,2\beta,\beta) = \beta\,(3,-3,2,1).
Assim
U\cap W = \langle(3,-3,2,1)\rangle,
\dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Pela fórmula
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+2-1=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que U+W=\mathbb{R}^4. Uma base explícita de U+W pode ser obtida pegando a base de U e acrescentando um vetor de W fora de U; por exemplo (1,-1,0,0) não satisfaz y+z+t=0, então
\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,-1),\,(0,0,1,-1),\,(1,-1,0,0)\}
é base de U+W.

Resposta

U: base \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,-1),\,(0,0,1,-1)\}, \dim(U)=3.
W: base \{(1,-1,0,0),\,(0,0,2,1)\}, \dim(W)=2.
U\cap W: base \{(3,-3,2,1)\}, \dim(U\cap W)=1.
U+W: base \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,-1),\,(0,0,1,-1),\,(1,-1,0,0)\}, \dim(U+W)=4.

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