(2.0) Sabendo que o torque realizado sobre uma partícula por uma força F em partícula em r é dado por tau=F times d, qual o torque caso r=(2 x-3 y+z) m e F=(x-2 y-z) N? Qual o módulo do torque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre torque, que é uma medida de como uma força pode fazer algo girar. A fórmula que vamos usar é o vetor torque, que é o produto vetorial da força F pelo vetor posição r. Ou seja, tau = r times F.
No problema, nos dão:
  • Vetor posição: r = (2 x - 3 y + z) , m
  • Força: F = (x - 2 y - z) , N
Nossa missão é calcular o torque tau e depois encontrar o módulo desse torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. Se temos a = ax x + ay y + az z e b = bx x + by y + bz z, então:
a times b = x & y & z ax & ay & az bx & by & bz = (ay bz - az by)x - (ax bz - az bx)y + (ax by - ay bx)z
Vamos aplicar isso com nossos vetores r e F.

Passo 3

Vamos identificar os componentes de cada vetor:
r = 2 x - 3 y + 1 z Rightarrow rx = 2, ry = -3, rz = 1
F = 1 x - 2 y -1 z Rightarrow Fx = 1, Fy = -2, Fz = -1
Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial:
taux = (ry Fz - rz Fy) = (-3)(-1) - (1)(-2) = 3 + 2 = 5
tauy = -[(rx Fz - rz Fx)] = -[(2)(-1) - (1)(1)] = -[-2 -1] = -(-3) = 3
tauz = (rx Fy - ry Fx) = (2)(-2) - (-3)(1) = -4 + 3 = -1
Então, o vetor torque é:
tau = 5 x + 3 y -1 z , N cdot m

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo do torque, que é a intensidade desse vetor. Para isso, usamos a fórmula:
|tau| = raiztaux^2 + tauy^2 + tauz^2
Substituindo os valores que encontramos:
|tau| = raiz5^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz25 + 9 + 1 = raiz35 approx 5,916 , N cdot m

Resposta

O torque é dado por tau = 5 x + 3 y -1 z , N cdot m e o módulo do torque é aproximadamente 5,916 , N cdot m.

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