(2.0) A velocidade de um vcículo ć v=-0.5 t x+(1+0.1 t^3) y+2 t^2 z. b) Determine a aceleração em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem a velocidade de um veículo dada pela função vetorial v = -0.5 t x + (1 + 0.1 t^3) y + 2 t^2 z. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a aceleração do veículo no tempo $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas, porque a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração a é a derivada da velocidade v em relação ao tempo $ t $. Ou seja:
t
Isso significa que vamos derivar cada componente da velocidade separadamente.

Passo 3

Vamos derivar cada componente da velocidade:
  1. Componente $ \hat{x} $:
x
  1. Componente $ \hat{y} $:
ddt (-0.5 t) = -0.5
  1. Componente $ \hat{z} $:
y
Então, a aceleração fica:
ddt (1 + 0.1 t^3) = 0 + 0.3 t^2 = 0.3 t^2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ t = 2 $ segundos na expressão da aceleração:
  1. Componente $ \hat{x} $:
t = 2
  1. Componente $ \hat{y} $:
x
  1. Componente $ \hat{z} $:
-0.5
Portanto, a aceleração no instante $ t = 2 $ segundos é:
y

Resposta

A aceleração do veículo em $ t = 2 $ segundos é:
t = 2

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