Sabendo-se que u(r, \theta)=r^{n} \operatorname{sen}(n \theta), n=1,2, \cdots e u(r, \theta)=r^{n} \cos (n \theta), n=0,1,2, \cdots são soluções do problema de Dirichlet no círculo
\left\{\begin{array}{l} \triangle u=0 \\\ u(r, 0)=0=u(r, \pi) \end{array}\right.
resolva o problema abaixo
\left\{\begin{array}{l} \triangle u=0 \\\ u(r, 0)=0=u(r, \pi) \\\ u(2, \theta)=3 \operatorname{sen}(2 \theta)-5 \cos (8 \theta) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de Dirichlet (no disco de raio 2, presumivelmente) com as seguintes informações e pedidos:
  • A equação a ser satisfeita é \Delta u=0 (função harmônica no disco).
  • Há as condições de contorno nas direções angulares \theta=0 e \theta=\pi: u(r,0)=0\quad\text{e}\quad u(r,\pi)=0,válidas para 0\le r\le2.
  • A condição na fronteira circular (arco de raio 2) é u(2,\theta)=3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta).
  • O enunciado também nos lembra que as funções u(r,\theta)=r^{n}\operatorname{sen}(n\theta),\; n=1,2,\dotse u(r,\theta)=r^{n}\cos(n\theta),\; n=0,1,2,\dotssão soluções harmónicas em coordenadas polares (isto é, são candidatos naturais para representar a solução por série de Fourier em \theta).
  • O que nos pedem: encontrar explicitamente u(r,\theta) no disco (isto é, a solução de Laplace que satisfaz as condições de contorno dadas).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Por linearidade de Laplace, se sabemos que r^n\cos(n\theta) e r^n\sin(n\theta) são harmónicas, então a solução geral regular no centro (para r\le2) pode ser escrita como série de Fourier em \theta com potências r^n em r: u(r,\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n r^{n}\cos(n\theta)+b_n r^{n}\sin(n\theta)\right),onde a_n,b_n são coeficientes que dependem do contorno.
  • O que isto significa na prática: cada termo trigonométrico \cos(n\theta) ou \sin(n\theta) na condição na fronteira r=2 gera, no interior, um termo proporcional a r^n\cos(n\theta) ou r^n\sin(n\theta), com fator de escala (r/2)^n quando comparado ao valor na fronteira.
  • Para determinar os coeficientes basta comparar as séries em r=2: impondo u(2,\theta) conhecido, fazemos u(2,\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n 2^{n}\cos(n\theta)+b_n 2^{n}\sin(n\theta)\right),e igualamos termo a termo com a expansão de 3\operatorname{sen}(2\theta)-5\cos(8\theta).
Observação pedagógica sobre os termos: cada \cos(n\theta) ou \sin(n\theta) é ortogonal aos outros no intervalo [0,\;2\pi], então a igualdade termo a termo é a forma natural de determinar coeficientes quando a condição de contorno é uma combinação finita (ou série) desses modos.

Passo 3

Aplicando a igualdade na fronteira r=2:
  • Escrevemos a forma geral restrita aos modos presentes (já que a condição na fronteira tem só dois modos, n=2 em seno e n=8 em cosseno, não precisamos introduzir termos adicionais): u(r,\theta)=a_2 r^{2}\sin(2\theta) + a_8 r^{8}\cos(8\theta),onde coloquei a_2 para o coeficiente do seno de ordem 2 e a_8 para o coeficiente do cosseno de ordem 8. (Não há termo constante nem outros n porque a condição na fronteira é apenas combinação desses dois modos.)
  • Avaliando em r=2 obtemos u(2,\theta)=a_2\,2^{2}\sin(2\theta) + a_8\,2^{8}\cos(8\theta).
  • Igualando com a condição dada na fronteira: a_2\,2^{2}\sin(2\theta) + a_8\,2^{8}\cos(8\theta)=3\sin(2\theta)-5\cos(8\theta).
  • Como \sin(2\theta) e \cos(8\theta) são funções linearmente independentes, podemos igualar coeficientes dos dois modos separadamente: a_2\,2^{2}=3,\qquad a_8\,2^{8}=-5.

Passo 4

Resolver as igualdades para os coeficientes e montar a solução:
  • Calcule os coeficientes: a_2=\frac{3}{2^{2}}=\frac{3}{4},
a_8=\frac{-5}{2^{8}}=\frac{-5}{256}.
  • Então a solução dentro do disco (para 0\le r\le2) é u(r,\theta)=\frac{3}{4}\,r^{2}\sin(2\theta)\;-\;\frac{5}{256}\,r^{8}\cos(8\theta).
  • Verificações rápidas (didáticas): cada termo é harmónico (porque r^{n}\sin(n\theta) e r^{n}\cos(n\theta) satisfazem \Delta u=0); ao avaliar em r=2 recuperamos exatamente a condição de contorno; portanto esta função é a solução de Dirichlet buscada (única, pelo princípio do máximo para equações harmónicas).

Resposta

u(r,\theta)=\frac{3}{4}\,r^{2}\sin(2\theta)-\frac{5}{256}\,r^{8}\cos(8\theta)

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