Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Lt^n=n!s^n+1, s>0 e n inteiro positivo
EntĂŁo determine y=t^3+2 t^2-4, a partir desta propriedade e da linearidade, se:
.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ y = t^{3} + 2t^{2} - 4 $ e queremos encontrar a sua transformada de Laplace, que é representada por $ \mathcal{L}{y} $. Para isso, vamos usar duas ideias principais: a propriedade da transformada de Laplace para potências de $ t $ e a linearidade da transformada. Ou seja, vamos precisar saber como transformar cada termo dessa função e depois juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace para potências de $ t $. A propriedade dada é:
t
Aqui, $ n! $ significa o fatorial de $ n $, que é $ n $ vezes todos os números inteiros positivos menores que $ n $. Por exemplo, $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $.

Passo 3

Agora, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace. A linearidade diz que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas dessas funções. Ou seja:
La f(t) + b g(t) = a Lf(t) + b Lg(t)
No nosso caso, temos três termos: $ t^{3} $, $ 2t^{2} $ e $ -4 $. Vamos aplicar a linearidade para cada um deles separadamente.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro termo, $ t^{3} $. Aplicando a propriedade da transformada de Laplace para potências de $ t $, temos:
t^3
Calculando $ 3! $:
t
Então:
Lt^3 = 3!s^4

Passo 5

Agora, vamos para o segundo termo, $ 2t^{2} $. Primeiro, vamos identificar $ n $ para esse termo, que é 2. Aplicando a propriedade:
2t^2
Como há um coeficiente 2 multiplicando $ t^{2} $, aplicamos a linearidade:
n

Passo 6

Por fim, temos o termo constante $ -4 $. A transformada de Laplace de uma constante $ a $ é:
-4
Aplicando isso para $ -4 $:
a

Passo 7

Agora, juntamos todas as transformadas que calculamos usando a linearidade:
Ly = Lt^3 + L2t^2 + L-4 = 6s^4 + 4s^3 - 4s

Resposta

A transformada de Laplace de $ y = t^{3} + 2t^{2} - 4 $ é:
y = t^3 + 2t^2 - 4

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