Se o custo (em
) de fabricação de uma boneca (por dia de trabalho) é dado pela equação
onde
é o número de bonecas fabricadas. Determine o número
de bonecas a serem fabricadas para que o custo de fabricação seja mínimo. Qual é o custo para fabricar
bonecas?
onde
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma função que representa o custo de fabricar bonecas por dia de trabalho, que é:
Aqui, $ x $ é o número de bonecas produzidas. Nosso objetivo é descobrir quantas bonecas ($ x_m $) devemos fabricar para que o custo seja o menor possível. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente o conceito de otimização que envolve derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para a derivada da função de custo $ C(x) $. A derivada nos ajuda a identificar pontos onde o custo pode ser mínimo ou máximo. Vamos derivar $ C(x) $ em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da derivada termo a termo:
Sabendo que a derivada de uma constante é zero e usando a regra do poder para os outros termos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, vamos igualar a derivada a zero e resolver para $ x $:
Podemos fatorar $ x^{2} $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x^{2} = 0 $ --> $ x = 0 $ (não faz sentido no contexto, pois não fabricaríamos nenhuma boneca)
- $ -\frac{3}{100} + \frac{3}{2000}x = 0 $
Vamos resolver a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 2000 para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora que temos $ x_m = 20 $, vamos calcular o custo correspondente substituindo na função $ C(x) $:
Calculando passo a passo:
Agora substituindo:
Resposta
O número de bonecas que deve ser fabricado para minimizar o custo é $ x_{m} = 20 $ bonecas, e o custo correspondente é R$10.