Se o custo (em R ) de fabricação de uma boneca (por dia de trabalho) é dado pela equação
) de fabricação de uma boneca (por dia de trabalho) é dado pela equação [ C(x)=1100(3000-x^3+380 x^4) ] onde
onde é o número de bonecas fabricadas Determine o número é o número de bonecas fabricadas. Determine o número de bonecas a serem fabricadas para que o custo de fabricação seja mínimo Qual é o custo para fabricar de bonecas a serem fabricadas para que o custo de fabricação seja mínimo. Qual é o custo para fabricar bonecas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma função que representa o custo de fabricar bonecas por dia de trabalho, que é:
C(x) = 1100(3000 - x^3 + 380 x^4)
Aqui, $ x $ é o número de bonecas produzidas. Nosso objetivo é descobrir quantas bonecas ($ x_m $) devemos fabricar para que o custo seja o menor possível. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente o conceito de otimização que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para a derivada da função de custo $ C(x) $. A derivada nos ajuda a identificar pontos onde o custo pode ser mínimo ou máximo. Vamos derivar $ C(x) $ em relação a $ x $:
C(x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da derivada termo a termo:
C'(x) = 1100 ( ddx(3000) - ddx(x^3) + ddx(380 x^4) )
Sabendo que a derivada de uma constante é zero e usando a regra do poder para os outros termos:
C'(x) = 1100 ( 0 - 3x^2 + 1280 x^3 )
Simplificando os coeficientes:
C'(x) = 1100 ( -3x^2 + 320 x^3 )
C'(x) = -3100x^2 + 32000x^3

Passo 4

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, vamos igualar a derivada a zero e resolver para $ x $:
x
Podemos fatorar $ x^{2} $:
x
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x^{2} = 0 $ --> $ x = 0 $ (não faz sentido no contexto, pois não fabricaríamos nenhuma boneca)
  2. $ -\frac{3}{100} + \frac{3}{2000}x = 0 $
Vamos resolver a segunda equação:
-3100x^2 + 32000x^3 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2000 para eliminar os denominadores:
x^2
x^2 ( -3100 + 32000x ) = 0
x^2 = 0

Passo 5

Agora que temos $ x_m = 20 $, vamos calcular o custo correspondente substituindo na função $ C(x) $:
xm = 20
Calculando passo a passo:
C(x)
C(20) = 1100(3000 - (20)^3 + 380 (20)^4)
20^3 = 8000
Agora substituindo:
20^4 = 160000

Resposta

O número de bonecas que deve ser fabricado para minimizar o custo é $ x_{m} = 20 $ bonecas, e o custo correspondente é R$10.

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