Resolva as integrais a seguir.
integral tanh (x)cosh (x) d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral integral tanh(x)cosh(x) , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especialmente a substituição, que nos ajuda a simplificar expressões mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função hiperbólica tangente, que é tanh(x) = sinh(x)cosh(x). Substituindo isso na integral, temos:
integral tanh(x)cosh(x) , dx = integral sinh(x)cosh(x)cosh(x) , dx = integral sinh(x)cosh^2(x) , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = cosh(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
du = sinh(x) , dx
Isso significa que sinh(x) , dx = du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral, ficamos com:
integral sinh(x)cosh^2(x) , dx = integral duu^2

Passo 5

A integral de 1u^2 em relação a u é:
integral 1u^2 , du = -1u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = cosh(x):
-1u + C = -1cosh(x) + C

Resposta

A integral integral tanh(x)cosh(x) , dx é igual a -,1cosh(x) + C.

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