Sabendo que a variável
depende da variável
, isto é
, utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada,
, quanto a equação da reta tangente à
no ponto
dado:
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede: 1) a derivada
obtida por diferenciação implícita; 2) a equação da reta tangente em
. Vamos usar regra do produto e cadeia para diferenciar.
Passo 2
Aplicamos a derivada em ambos os lados de
. Usando regra do produto:
Aqui
e, pela cadeia,
. Logo
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Temos
,
,
,
. Assim
Passo 5
A reta tangente em
tem coeficiente angular
e passa por
. A equação ponto-declive é
ou simplesmente
Resposta
A derivada geral é
e a reta tangente em
é