Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y=y(x), utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada, y^{\prime}(x), quanto a equação da reta tangente à y(x) no ponto P dado:
\cos x \operatorname{sen} y=0, P=(0, \pi)

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
\cos x \,\operatorname{sen} y = 0
e pede: 1) a derivada y'(x) obtida por diferenciação implícita; 2) a equação da reta tangente em P=(0,\pi). Vamos usar regra do produto e cadeia para diferenciar.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados de \cos x \,\operatorname{sen} y = 0. Usando regra do produto:
\frac{d}{dx}[\cos x]\cdot\operatorname{sen} y + \cos x\cdot\frac{d}{dx}[\operatorname{sen} y] = 0.
Aqui \frac{d}{dx}[\cos x] = -\operatorname{sen} x e, pela cadeia, \frac{d}{dx}[\operatorname{sen} y] = \cos y\cdot y'. Logo
-\operatorname{sen} x\;\operatorname{sen} y + \cos x\;\cos y\;y' = 0.

Passo 3

Isolamos y':
\cos x\;\cos y\;y' = \operatorname{sen} x\;\operatorname{sen} y \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{\operatorname{sen} x\;\operatorname{sen} y}{\cos x\;\cos y}.

Passo 4

Agora avaliamos y' em P=(0,\pi). Temos \sen0=0, \cos0=1, \operatorname{sen}\pi=0, \cos\pi=-1. Assim
y'(0) = \frac{\sen0\;\operatorname{sen}\pi}{\cos0\;\cos\pi} = \frac{0\cdot0}{1\cdot(-1)} = 0.

Passo 5

A reta tangente em P tem coeficiente angular m = y'(0)=0 e passa por (0,\pi). A equação ponto-declive é
y - \pi = 0\,(x - 0)
ou simplesmente
y = \pi.

Resposta

A derivada geral é
y'(x) = \frac{\operatorname{sen} x\;\operatorname{sen} y}{\cos x\;\cos y},
e a reta tangente em P=(0,\pi) é
y = \pi.

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