Em cada caso abaixo, encontre a equação da reta tangente à f(x) no ponto P dado.
f(x)=\left(\frac{x^{2}-1}{x^{3}+1}\right), P=(1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}+1}
e o ponto P=(1,0). Para achar a reta tangente a f em P, precisamos calcular a derivada f'(x), avaliá-la em x=1 (para obter o coeficiente angular) e então usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Identifiquemos
g(x)=x^{2}-1, \quad h(x)=x^{3}+1.
Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculando as derivadas de g e h:
g'(x)=2x, \quad h'(x)=3x^{2}.
Logo o numerador de f'(x) é
2x\,(x^{3}+1)-(x^{2}-1)\,(3x^{2}) =2x^{4}+2x-3x^{4}+3x^{2} =-x^{4}+3x^{2}+2x.
Portanto
f'(x) = \frac{-x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{3}+1)^{2}}.

Passo 4

Avalia-mos f'(x) em x=1:
o numerador fica -1+3+2=4 e o denominador (1+1)^{2}=4.
Logo
f'(1)=\frac{4}{4}=1.

Passo 5

A reta tangente em P=(1,0) tem coeficiente angular m=f'(1)=1. Usando
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=1, obtemos
y-0=1\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=x-1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = x - 1.

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