Em cada caso abaixo, encontre a equação da reta tangente à f(x) no ponto P dado.
f(x)=\frac{x-3}{3 x+4}, P=(3,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x)=\frac{x-3}{3x+4}
no ponto P=(3,0).
Conteúdo: derivada de função racional (regra do quociente) e fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Vamos calcular f'(x) pela regra do quociente. Se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=x-3,\;v(x)=3x+4,
então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{1\cdot(3x+4)- (x-3)\cdot3}{(3x+4)^2}.
Simplificando o numerador:
1\cdot(3x+4)-3(x-3)=3x+4-3x+9=13.
Logo,
f'(x)=\frac{13}{(3x+4)^2}.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=3:
f'(3)=\frac{13}{(3\cdot3+4)^2} =\frac{13}{(9+4)^2} =\frac{13}{13^2} =\frac{1}{13}.

Passo 4

Sabendo que f(3)=0 e f'(3)=\tfrac{1}{13}, a reta tangente em x=3 é
y - f(3)=f'(3)\,(x-3) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{13}(x-3).
Distribuindo,
y = \frac{1}{13}x - \frac{3}{13}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{1}{13}x - \frac{3}{13}.

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