Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y=y(x), utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada, y^{\prime}(x), quanto a equação da reta tangente à y(x) no ponto P dado:
x y=1, P=(1,1)

Passo 1

O enunciado define uma curva implícita por
x\,y = 1
onde y depende de x. Pede-se (1) a derivada y'(x) obtida por diferenciação implícita e (2) a equação da reta tangente à curva no ponto P=(1,1).

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados de
x\,y = 1
em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\,y)=x\,\frac{dy}{dx}+y\cdot\frac{d}{dx}(x)=x\,y'+y.
O lado direito é constante, logo sua derivada é zero. Assim obtemos
x\,y' + y = 0.

Passo 3

Isolamos y' em
x\,y' + y = 0
e concluímos
y' = -\frac{y}{x}.

Passo 4

No ponto P=(1,1) temos
y'(1) = -\frac{1}{1} = -1.
A reta tangente em P com coeficiente angular m=-1 satisfaz
y-1 = -1\,(x-1).
Rearranjando,
y = -x + 2.

Resposta

Derivada geral:
y' = -\frac{y}{x}.
Reta tangente em P:
y = -x + 2.

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