Sabendo que varphi=sen(pi x / 2), determine o valor da derivada primeira, em x=0,5, usando
& d varphid x approx phij+1-phij-12 De<a x ; & d varphid x approx phij+1-phijDe<a x ; & d varphid x approx phij-2-8 phij-1+8 phij+1-phij+212 De<a x
e considerando que De<a x=0,1. Compare a acurácia dos diferentes valores.
Exercício 2

Passo 1

O enunciado define varphi(x)=sinl(tfracpi x2r) e pede varphi'(0,5) aproximado por três fórmulas de diferença finita com De<a x=0,1. Vamos
  1. identificar o índice j tal que xj=0,5;
  2. calcular os valores de varphi em xjpm1 e xjpm2;
  3. obter a derivada analítica para usar como referência;
  4. aplicar cada fórmula de diferença finita;
  5. comparar erros.

Passo 2

Como xj = j,De<a x = 0,5 e De<a x=0,1, segue j=5. Assim
xj-2=0,3,;xj-1=0,4,;xj=0,5,;xj+1=0,6,;xj+2=0,7
Calculando varphik=sinl(tfracpi xk2r):
phij-2=sin(0,15pi)approx0,45399, phij-1=sin(0,2pi)approx0,58779,
phij=sin(0,25pi)approx0,70711, phij+1=sin(0,3pi)approx0,80902, phij+2=sin(0,35pi)approx0,89101

Passo 3

A derivada exata é
varphi'(x)=ddxsin!l(tfracpi x2r) =pi2cos!l(tfracpi x2r)
Em x=0,5:
varphi'(0,5)=pi2cos!l(tfracpi4r) =pi2,raiz22 =pi2raiz2approx1,11072

Passo 4

Fórmula forward–difference (ordem 1):
varphi'fd approxphij+1-phijDe<a x =0,80902-0,707110,1 =1,01910

Passo 5

Fórmula central (ordem 2):
varphi'cd approxphij+1-phij-12,De<a x =0,80902-0,587790,2 =1,10616

Passo 6

Fórmula central de quarta ordem:
varphi'4th approxphij-2-8phij-1+8phij+1-phij+212,De<a x =0,45399-8cdot0,58779+8cdot0,80902-0,891011,2 approx1,11070

Passo 7

Comparando com o valor exato 1,11072:
– forward–difference: 1,01910 (erro approx!0,0916);
– central 2ª ordem: 1,10616 (erro approx!0,00456);
– central 4ª ordem: 1,11070 (erro approx!0,00002).
Logo, quanto maior a ordem da fórmula, maior a acurácia.

Resposta

varphi'fdapprox1,01910, varphi'cdapprox1,10616, varphi'4thapprox1,11070
A fórmula de quarta ordem é a mais precisa.

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