Sabendo que
, determine o valor da derivada primeira, em
, usando
e considerando que
. Compare a acurácia dos diferentes valores.
Exercício 2
Passo 1
O enunciado define
e pede
aproximado por três fórmulas de diferença finita com
. Vamos
- identificar o índice
tal que ; - calcular os valores de
em e ; - obter a derivada analítica para usar como referência;
- aplicar cada fórmula de diferença finita;
- comparar erros.
Passo 2
Como
e
, segue
. Assim
Calculando
:
Passo 3
A derivada exata é
Em
:
Passo 4
Fórmula forward–difference (ordem 1):
Passo 5
Fórmula central (ordem 2):
Passo 6
Fórmula central de quarta ordem:
Passo 7
Comparando com o valor exato
:
– forward–difference: (erro
);
– central 2ª ordem: (erro
);
– central 4ª ordem: (erro
).
Logo, quanto maior a ordem da fórmula, maior a acurácia.
– forward–difference:
– central 2ª ordem:
– central 4ª ordem:
Logo, quanto maior a ordem da fórmula, maior a acurácia.
Resposta
A fórmula de quarta ordem é a mais precisa.