Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
2
32.2
-2
-2
29.6
-1
-3
20.5
0
2
-2.1
1
-2
15.7
2
1
18.3
3
-5
62.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 295.1
(B) 296.1
(C) 297.1
(D) 298.1
(E) 299.1
(F) 300.1
(G) 301.1
(H) 302.1
Passo 1
O enunciado pede: ajustar os parâmetros a,b,c do modelo Z = a x^{2} + b y + c pelos mínimos quadrados com os 7 dados experimentais da tabela e, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9). Os dados (retirados da tabela do enunciado) são:
Informações relevantes extraídas: cada observação fornece x_i,y_i,Z_i. Queremos os coeficientes (a,b,c) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos S=\sum_{i=1}^{7}\big(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\big)^2. A partir dos dados vamos montar as equações normais dos mínimos quadrados e resolver para a,b,c. Em seguida computamos Z(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c.
Passo 2
Conceito e método (aula curta e prática): quando o modelo é linear nos parâmetros (aqui linear em a,b,c), podemos escrever em forma matricial \mathbf{Z} = X\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}, onde \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}, \mathbf{Z} é vetor das observações, e a matriz de desenho X tem colunas correspondentes às funções multiplicadas pelos parâmetros: primeira coluna x^2, segunda coluna y, terceira coluna 1. A estimativa de mínimos quadrados é dada pelas equações normais
Explico cada termo: X^{T}X é uma matriz 3\times3 cujos elementos são somas como \sum x_i^4,\sum x_i^2 y_i,\sum x_i^2,\sum y_i^2,\sum y_i,\sum 1. O vetor X^{T}\mathbf{Z} contém \sum x_i^2 Z_i,\sum y_i Z_i,\sum Z_i. Resolver as normais dá \hat a,\hat b,\hat c.
Passo 3
Montagem das quantidades necessárias a partir da tabela (vou calcular explicitamente as somas; tudo extraído da tabela):
Calculei x_i^2 e depois as somas:
Em seguida vou resolver esse sistema linear. Para evitar muita perda de precisão com decimais, multipliquei tudo por 5 (pois os termos do lado direito têm uma casa decimal), obtendo sistema inteiro: