Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 2 32.2
-2 -2 29.6
-1 -3 20.5
0 2 -2.1
1 -2 15.7
2 1 18.3
3 -5 62.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 295.1
(B) 296.1
(C) 297.1
(D) 298.1
(E) 299.1
(F) 300.1
(G) 301.1
(H) 302.1

Passo 1

O enunciado pede: ajustar os parâmetros a,b,c do modelo Z = a x^{2} + b y + c pelos mínimos quadrados com os 7 dados experimentais da tabela e, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9). Os dados (retirados da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{r|r|r|r} \text{índice} & x & y & Z \\\ \hline 1 & -3 & 2 & 32{,}2\\\\ 2 & -2 & -2 & 29{,}6\\\\ 3 & -1 & -3 & 20{,}5\\\\ 4 & 0 & 2 & -2{,}1\\\\ 5 & 1 & -2 & 15{,}7\\\\ 6 & 2 & 1 & 18{,}3\\\\ 7 & 3 & -5 & 62{,}0 \end{array}
Informações relevantes extraídas: cada observação fornece x_i,y_i,Z_i. Queremos os coeficientes (a,b,c) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos S=\sum_{i=1}^{7}\big(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\big)^2. A partir dos dados vamos montar as equações normais dos mínimos quadrados e resolver para a,b,c. Em seguida computamos Z(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c.

Passo 2

Conceito e método (aula curta e prática): quando o modelo é linear nos parâmetros (aqui linear em a,b,c), podemos escrever em forma matricial \mathbf{Z} = X\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}, onde \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}, \mathbf{Z} é vetor das observações, e a matriz de desenho X tem colunas correspondentes às funções multiplicadas pelos parâmetros: primeira coluna x^2, segunda coluna y, terceira coluna 1. A estimativa de mínimos quadrados é dada pelas equações normais
X^{T}X\,\hat{\boldsymbol{\beta}} = X^{T}\mathbf{Z}.
Explico cada termo: X^{T}X é uma matriz 3\times3 cujos elementos são somas como \sum x_i^4,\sum x_i^2 y_i,\sum x_i^2,\sum y_i^2,\sum y_i,\sum 1. O vetor X^{T}\mathbf{Z} contém \sum x_i^2 Z_i,\sum y_i Z_i,\sum Z_i. Resolver as normais dá \hat a,\hat b,\hat c.

Passo 3

Montagem das quantidades necessárias a partir da tabela (vou calcular explicitamente as somas; tudo extraído da tabela):
Calculei x_i^2 e depois as somas:
Valores individuais x^2: 9,4,1,0,1,4,9.
Somas:
\sum x^2 = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
\sum y = 2-2-3+2-2+1-5 = -7.
\sum 1 = 7.
Agora elementos de X^{T}X:
\sum x^4 = 9^2+4^2+1^2+0^2+1^2+4^2+9^2 = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
\sum x^2 y = 9\cdot 2 + 4\cdot(-2) + 1\cdot(-3) + 0\cdot 2 + 1\cdot(-2) + 4\cdot 1 + 9\cdot(-5) = -36.
\sum y^2 = 2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + (-2)^2 + 1^2 + (-5)^2 = 51.
Logo a matriz X^{T}X fica
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum x^4 & \sum x^2 y & \sum x^2\\[4pt] \sum x^2 y & \sum y^2 & \sum y\\[4pt] \sum x^2 & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -36 & 28\\[4pt] -36 & 51 & -7\\[4pt] 28 & -7 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculei também o lado direito X^{T}\mathbf{Z}, ou seja as somas com Z. Extraído da tabela:
\sum Z = 32{,}2 + 29{,}6 + 20{,}5 -2{,}1 + 15{,}7 + 18{,}3 + 62{,}0 = 176{,}2.
\sum y Z = 2\cdot 32{,}2 + (-2)\cdot 29{,}6 + (-3)\cdot 20{,}5 + 2\cdot(-2{,}1) + (-2)\cdot 15{,}7 + 1\cdot 18{,}3 + (-5)\cdot 62{,}0 = -383{,}6.
\sum x^2 Z = 9\cdot 32{,}2 + 4\cdot 29{,}6 + 1\cdot 20{,}5 + 0\cdot(-2{,}1) + 1\cdot 15{,}7 + 4\cdot 18{,}3 + 9\cdot 62{,}0 = 1075{,}6.
Portanto
X^{T}\mathbf{Z} = \begin{pmatrix}1075{,}6\\[4pt]-383{,}6\\[4pt]176{,}2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevemos as equações normais explícitas:
\begin{pmatrix} 196 & -36 & 28\\[4pt] -36 & 51 & -7\\[4pt] 28 & -7 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1075{,}6\\[4pt]-383{,}6\\[4pt]176{,}2\end{pmatrix}.
Em componentes:
\begin{cases} 196a -36b +28c = 1075{,}6,\\[4pt] -36a +51b -7c = -383{,}6,\\[4pt] 28a -7b +7c = 176{,}2. \end{cases}
Em seguida vou resolver esse sistema linear. Para evitar muita perda de precisão com decimais, multipliquei tudo por 5 (pois os termos do lado direito têm uma casa decimal), obtendo sistema inteiro:
\begin{cases} 980a -180b +140c = 5378,\\[4pt] -180a +255b -35c = -1918,\\[4pt] 140a -35b +35c = 881. \end{cases}]

Passo 6

Resolução por eliminação (detalhada e didática):
  1. Eliminei a das equações 2 e 3 combinando inteiramente com múltiplos da equação 1:
  • 49\times(\text{eq.2}) + 9\times(\text{eq.1}) cancela a e produz:
10875\,b - 455\,c = -45580.
Dividindo por 5 para simplificar:
2175\,b -91\,c = -9116. \tag{A}
  • (-7)\times(\text{eq.3}) + 1\times(\text{eq.1}) cancela a e produz:
65\,b -105\,c = -789. \tag{B}
Agora temos o sistema 2×2 (A),(B) em b,c.
  1. Resolvo (B) para b:
65b = -789 + 105c \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{105c -789}{65}.
  1. Substituo em (A):
2175\left(\frac{105c -789}{65}\right) -91c = -9116.
Multiplicando por 65 para eliminar denominador:
2175(105c -789) -91\cdot 65\,c = -9116\cdot 65.
Fazendo as multiplicações (detalhadas) chegamos à equação linear para c:
222460\,c = 1123535.
Logo
c = \frac{1123535}{222460} \approx 5{,}050486.
  1. Voltando para b:
b = \frac{105c -789}{65} \approx \frac{105\cdot 5{,}050486 -789}{65} \approx -3{,}979953.
  1. Por fim calculo a usando uma das equações originais (por exemplo a terceira multiplicada por 5 que usamos): da equação 140a -35b +35c = 881,
140a = 881 +35(b-c) \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{881 +35(b-c)}{140} \approx 4{,}035247.
Resumindo os coeficientes ajustados (arredondando razoavelmente para fins de previsão):
\hat a \approx 4{,}035247,\qquad \hat b \approx -3{,}979953,\qquad \hat c \approx 5{,}050486.

Passo 7

Agora calculo o valor previsto Z para (x,y)=(9,9):
Z(9,9) = \hat a\cdot 9^{2} + \hat b\cdot 9 + \hat c.
Calculei:
9^{2}=81,\quad \hat a\cdot 81 \approx 4{,}035247\times 81 \approx 326{,}855035,
\hat b\cdot 9 \approx -3{,}979953\times 9 \approx -35{,}819581,
então
Z(9,9) \approx 326{,}855035 -35{,}819581 + 5{,}050486 \approx 296{,}085941 \approx 296{,}09.
Arredondando à casa decimal usada nas alternativas obtemos Z(9,9)\approx 296{,}1.

Resposta

(B) 296.1

Exercícios relacionados