Sabendo que a velocidade encontrada no modelo é de 500 m / s, para manter a esfera suspensa, determine a velocidade da água a ser usada em um protótipo, para manter uma esfera de densidade 2,5 g / cm^3 suspensa, sabendo que o diâmetro do protótipo é o dobro do diâmetro do modelo, a densidade da água é 833 vezes maior que a do ar e a viscosidade do ar é 56 vezes menor que a da água.

Passo 1

Beleza, vamos decifrar o enunciado. A gente tem um modelo de esfera suspensa num jato de ar, onde a velocidade de suspensão foi medida em 500 m/s. Agora queremos projetar um protótipo maior usando água no lugar do ar. No protótipo:
  • o diâmetro é o dobro do modelo,
  • a densidade da água é 833 vezes a do ar,
  • a viscosidade do ar é 56 vezes menor que a da água (ou seja, murm água=56,murm ará),
  • a esfera tem densidade 2,5rm,g/cm^3.
Matéria envolvida: mecânica dos fluidos – análise de similaridade hidrodinâmica (número de Reynolds) para manter o mesmo coeficiente de arrasto e, assim, suspender a esfera do protótipo.
Vamos usar o fato de que, para a mesma geometria e mesmo número de Reynolds, o coeficiente de arrasto CD é o mesmo, então basta igualar
Rerm modelo ;=;Rerm protótipo ó

Passo 2

Lembra do número de Reynolds? É dado por
Re = rho,v,Dmu,,
onde
  • rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade de escoamento,
  • D é o comprimento característico (aqui, o diâmetro da esfera),
  • mu é a viscosidade do fluido.

Para o nosso caso, impondo
[
\mathrm{Re}_{\rm modelo}

\mathrm{Re}_{\rm protótipo},
]
a gente escreve:
Rerm modelo = Rerm protótipo, áá

Passo 3

Agora coloca as relações que conhecemos:
  1. Dp = 2,Dm.
  2. rhorm água = 833,rhorm ará.
  3. murm água=56,murm ará.
Substituindo:

[
\frac{\rho_{\rm ar},v_m,D_m}{\mu_{\rm ar}}

\frac{(833,\rho_{\rm ar}),v_p,(2,D_m)}{56,\mu_{\rm ar}}.
]

Passo 4

Simplifica o que der:
  1. Cancela rhorm ar e Dm e murm ar nos dois lados.
  2. Fica

[
v_m

v_p ;\frac{833 \times 2}{56}
\quad\longrightarrow\quad
v_p

v_m ;\frac{56}{833 \times 2}.
]

Passo 5

Só botar o vm=500,m/s:

[
v_p

500 ;\times;\frac{56}{833\cdot 2}

500 ;\times;\frac{56}{1666}
\approx
500 ;\times;0{,}0336
\approx
16{,}8;m/s.
]

Resposta

Para manter a esfera suspensa no protótipo (água), precisamos de aproximadamente
boxedvp approx 17 m/s

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