Sabendo que a velocidade encontrada no modelo é de
, para manter a esfera suspensa, determine a velocidade da água a ser usada em um protótipo, para manter uma esfera de densidade
suspensa, sabendo que o diâmetro do protótipo é o dobro do diâmetro do modelo, a densidade da água é 833 vezes maior que a do ar e a viscosidade do ar é 56 vezes menor que a da água.
Passo 1
Beleza, vamos decifrar o enunciado. A gente tem um modelo de esfera suspensa num jato de ar, onde a velocidade de suspensão foi medida em 500 m/s. Agora queremos projetar um protótipo maior usando água no lugar do ar. No protótipo:
- o diâmetro é o dobro do modelo,
- a densidade da água é 833 vezes a do ar,
- a viscosidade do ar é 56 vezes menor que a da água (ou seja,
), - a esfera tem densidade
.
Matéria envolvida: mecânica dos fluidos – análise de similaridade hidrodinâmica (número de Reynolds) para manter o mesmo coeficiente de arrasto e, assim, suspender a esfera do protótipo.
Vamos usar o fato de que, para a mesma geometria e mesmo número de Reynolds, o coeficiente de arrasto
é o mesmo, então basta igualar
Passo 2
Lembra do número de Reynolds? É dado por
onde
-
é a densidade do fluido, -
é a velocidade de escoamento, -
é o comprimento característico (aqui, o diâmetro da esfera), -
é a viscosidade do fluido.
Para o nosso caso, impondo
[
\mathrm{Re}_{\rm modelo}
\mathrm{Re}_{\rm protótipo},
]
]
a gente escreve:
Passo 3
Agora coloca as relações que conhecemos:
-
. -
. -
.
Substituindo:
[
\frac{\rho_{\rm ar},v_m,D_m}{\mu_{\rm ar}}
\frac{(833,\rho_{\rm ar}),v_p,(2,D_m)}{56,\mu_{\rm ar}}.
]
]
Passo 4
Simplifica o que der:
- Cancela
e e nos dois lados. - Fica
[
v_m
v_p ;\frac{833 \times 2}{56}
\quad\longrightarrow\quad
v_p
v_m ;\frac{56}{833 \times 2}.
]
]
Passo 5
Só botar o
m/s:
[
v_p
500 ;\times;\frac{56}{833\cdot 2}
500 ;\times;\frac{56}{1666}
\approx
500 ;\times;0{,}0336
\approx
16{,}8;m/s.
]
\approx
500 ;\times;0{,}0336
\approx
16{,}8;m/s.
]
Resposta
Para manter a esfera suspensa no protótipo (água), precisamos de aproximadamente