Seja w=3 x^2+2 x y-y^2 com x=cos theta e y=sin theta, calcular d wd theta.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função de duas variáveis w(x,y)=3x^2+2xy-y^2, mas na verdade x e y dependem de theta via x=costheta e y=sintheta. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x e y:
partial wpartial x=6x+2y
partial wpartial y=2x-2y

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a theta:
dxdtheta=-sintheta,
dydtheta=costheta

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dwdtheta = partial wpartial xdxdtheta+partial wpartial ydydtheta

Passo 5

Substituindo tudo em termos de theta:
dwdtheta=(6x+2y)(-sintheta)+(2x-2y)(costheta)
e lembrando que x=costheta, y=sintheta, dá
dwdtheta=-6costhetasintheta-2sin^2theta+2cos^2theta-2sinthetacostheta

Passo 6

Por fim, agrupando termos usamos as identidades cos^2theta-sin^2theta=cos2theta e 2sinthetacostheta=sin2theta:
dwdtheta=2cos2theta-4sin2theta

Resposta

dfracdwdtheta=2cos2theta-4sin2theta

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