Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de z^2(4-z)^2 em torno de z0=0, determine o valor de a3.
c) 1 / 32

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente a3 da série de potências de f(z)=z^2(4-z)^2 em torno de z0=0. O conteúdo principal aqui é a expansão de 1/(1-x)^2 e manuseio de séries de potências.

Passo 2

Sabemos que a expansão de 1/(1-x)^2 em torno de x=0 é:
1(1-x)^2=sumn=0^infty (n+1)x^n, para |x|<1.

Passo 3

Reescrevemos f(z) de forma a usar essa série:
z^2(4-z)^2= racz^216,(1-tfracz4)^2= rac116,z^2,1(1-tfracz4)^2

Passo 4

Substituindo x=tfracz4 na expansão de 1/(1-x)^2, obtemos:
1(1-tfracz4)^2=sumn=0^infty(n+1)l(tfracz4r)^n
Multiplicando por tfrac116z^2 dá:
z^2(4-z)^2=116sumn=0^infty(n+1)z^n+24^n=sumn=0^inftyn+116cdot4^n,z^n+2

Passo 5

Para identificar a3, note que o índice da série está em z^n+2. Queremos n+2=3, ou seja n=1. Assim:
a3=1+116cdot4^1=216cdot4=264=132

Resposta

1/32

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