Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{v}_{1}=(0,1,-2), \quad \vec{v}_{2}=(4,-2,-1) e \vec{v}_{3}=(m, 3,-2) seja igual a 33. Calcular
a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo claramente o que se pede):\n
  • Vetores dados: \vec{v}_{1}=(0,1,-2), \vec{v}_{2}=(4,-2,-1), \vec{v}_{3}=(m,3,-2).\n
  • Pede-se: (a) calcular os valores de m tais que o volume do paralelepípedo determinado por \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} seja igual a 33. (b) calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.\n
  • Informação importante: o volume dado é 33. (Não vamos assumir nada além disso.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
  • O volume V do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é o valor absoluto do produto misto (produto triplo) desses vetores:\n
V = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|.
  • Aqui \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial (cross product), que produz um vetor perpendicular a \vec{b} e \vec{c}; e \vec{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar (dot product) entre \vec{a} e esse vetor. O resultado é um número (o determinante da matriz cujas linhas ou colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}).\n
  • Regra do produto vetorial (memorização útil): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Exemplo rápido para fixar: \,(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).\n
  • Produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q} = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3.

Passo 3

Aplicando a fórmula do volume ao nosso caso: calculamos \vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3} passo a passo usando a regra do produto vetorial.\n
Dados: \vec{v}_{2}=(4,-2,-1), \vec{v}_{3}=(m,3,-2).\n
Usando a fórmula,
\vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3} = \bigl((-2)(-2)-(-1)(3),\; (-1)m-4(-2),\; 4\cdot3-(-2)m\bigr).
Calcule componente a componente:\n
  • Primeira componente: (-2)(-2)-(-1)\cdot3 = 4 - (-3) = 7.\n
  • Segunda componente: (-1)\cdot m - 4\cdot(-2) = -m + 8. Note que na fórmula geral o segundo componente aparece com sinal trocado quando expandimos com determinante; portanto o resultado final da segunda componente é 8-m.\n
  • Terceira componente: 4\cdot3 - (-2)\cdot m = 12 + 2m.\n
    Portanto
\vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3} = (7,\;8-m,\;12+2m).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{v}_{1}\cdot(\vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3}), que é o produto misto.\n
Dados: \vec{v}_{1}=(0,1,-2) e \vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3}=(7,8-m,12+2m).\n
Produto escalar:
\vec{v}_{1}\cdot(\vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3}) = 0\cdot7 + 1\cdot(8-m) + (-2)\cdot(12+2m).
Calcule os termos:
= 8 - m - 24 - 4m = -16 - 5m.
Portanto o produto misto (determinante) é -16 - 5m. O volume é o valor absoluto desse número.

Passo 5

Impondo que o volume seja 33:\n
\left|-16 - 5m\right| = 33.
Resolvemos a equação com módulo, isto é -16 - 5m = \pm 33.\n
Caso 1: -16 - 5m = 33\n
-5m = 33 + 16 = 49 \quad\Rightarrow\quad m = -\frac{49}{5}.\n
Caso 2: -16 - 5m = -33\n
-5m = -33 + 16 = -17 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{17}{5}.\n
Logo os dois valores possíveis de m são m = \dfrac{17}{5} e m = -\dfrac{49}{5}. (Ambos tornam o valor absoluto do produto misto igual a 33.)

Passo 6

Agora vamos calcular a área da base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. A área do paralelogramo formado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} é \|\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}\| (módulo do produto vetorial).\n
Calcule \vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} com \vec{v}_{1}=(0,1,-2) e \vec{v}_{2}=(4,-2,-1):\n
\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} = \bigl(1\cdot(-1)-(-2)(-2),\; -\bigl(0\cdot(-1)-(-2)\cdot4\bigr),\; 0\cdot(-2)-1\cdot4\bigr).
Calcule componente a componente:\n
  • Primeira: 1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-2) = -1 - 4 = -5.\n
  • Segunda: 0\cdot(-1)-(-2)\cdot4 = 0 - (-8) = 8, e com o sinal negativo da fórmula fica -8.\n
  • Terceira: 0\cdot(-2)-1\cdot4 = -4.\n
    Portanto
\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} = (-5,\,-8,\,-4).
Agora a norma (magnitude) desse vetor:
\|\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 64 + 16} = \sqrt{105}.
Assim a área da base (paralelogramo) é \sqrt{105}.

Passo 7

Altura relativa à base \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}:\n
  • A altura h satisfaz \text{Volume} = \text{Área da base} \times hÁ. Usando Volume =33 (valor positivo) e \text{Área da base}=\sqrt{105}Á, temos
h = \frac{33}{\sqrt{105}}.
Se quiser uma aproximação decimal para intuição,
\sqrt{105}\approx 10,24695\quad\Rightarrow\quad h\approx \frac{33}{10,24695}\approx 3,22.
Observação: a altura é a mesma para ambos os valores de m, porque a base (definida por \vec{v}_1 e \vec{v}_2) não depende de m e o enunciado fixou o volume em 33.

Resposta

m=\dfrac{17}{5} ou m=-\dfrac{49}{5}\n
h=\dfrac{33}{\sqrt{105}} (aprox. 3,22)

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