Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{v}_{1}=(0,1,-2), \quad \vec{v}_{2}=(4,-2,-1) e \vec{v}_{3}=(m, 3,-2) seja igual a 33. Calcular
a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumindo claramente o que se pede):\n
Pede-se: (a) calcular os valores de m tais que o volume do paralelepípedo determinado por \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} seja igual a 33. (b) calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.\n
Informação importante: o volume dado é 33. (Não vamos assumir nada além disso.)
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
O volume V do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é o valor absoluto do produto misto (produto triplo) desses vetores:\n
V = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|.
Aqui \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial (cross product), que produz um vetor perpendicular a \vec{b} e \vec{c}; e \vec{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar (dot product) entre \vec{a} e esse vetor. O resultado é um número (o determinante da matriz cujas linhas ou colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}).\n
Regra do produto vetorial (memorização útil): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
Exemplo rápido para fixar: \,(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).\n
Produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q} = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3.
Passo 3
Aplicando a fórmula do volume ao nosso caso: calculamos \vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3} passo a passo usando a regra do produto vetorial.\n
Dados: \vec{v}_{2}=(4,-2,-1), \vec{v}_{3}=(m,3,-2).\n
Usando a fórmula,
Primeira componente: (-2)(-2)-(-1)\cdot3 = 4 - (-3) = 7.\n
Segunda componente: (-1)\cdot m - 4\cdot(-2) = -m + 8. Note que na fórmula geral o segundo componente aparece com sinal trocado quando expandimos com determinante; portanto o resultado final da segunda componente é 8-m.\n
Agora calculamos o produto escalar \vec{v}_{1}\cdot(\vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3}), que é o produto misto.\n
Dados: \vec{v}_{1}=(0,1,-2) e \vec{v}_{2}\times\vec{v}_{3}=(7,8-m,12+2m).\n
Produto escalar:
Logo os dois valores possíveis de m são m = \dfrac{17}{5} e m = -\dfrac{49}{5}. (Ambos tornam o valor absoluto do produto misto igual a 33.)
Passo 6
Agora vamos calcular a área da base definida por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. A área do paralelogramo formado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} é \|\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}\| (módulo do produto vetorial).\n
Calcule \vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} com \vec{v}_{1}=(0,1,-2) e \vec{v}_{2}=(4,-2,-1):\n
Observação: a altura é a mesma para ambos os valores de m, porque a base (definida por \vec{v}_1 e \vec{v}_2) não depende de m e o enunciado fixou o volume em 33.
Resposta
m=\dfrac{17}{5} ou m=-\dfrac{49}{5}\n h=\dfrac{33}{\sqrt{105}} (aprox. 3,22)