Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e cos x=13, determine sen x2 e tg x2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de trigonometria onde conhecemos o valor do cosseno de um ângulo no primeiro quadrante. Especificamente, sabemos que cos x = 13. Nosso objetivo é determinar os valores de sin x2 e tan x2. Para isso, vamos utilizar as fórmulas de metade do ângulo e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de sin x. Sabemos que, em qualquer ângulo, a identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1 sempre vale. Como já conhecemos cos x = 13, podemos calcular sin x da seguinte forma:
sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (13)^2 = 1 - 19 = 89
sin x = raiz89 = 2raiz23
Como x está no primeiro quadrante, os valores de seno e cosseno são positivos.

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas de redução de ângulo para encontrar sin x2 e tan x2. As fórmulas são:
sin x2 = raiz1 - cos x2
tan x2 = sin x1 + cos x

Passo 4

Vamos calcular sin x2 utilizando a fórmula mencionada:
sin x2 = raiz1 - 132 = raiz232 = raiz23 times 12 = raiz13 = raiz33

Passo 5

Agora, calculamos tan x2 usando a fórmula correspondente:
tan x2 = 2raiz231 + 13 = 2raiz2343 = 2raiz23 times 34 = 2raiz24 = raiz22

Resposta

Portanto, os valores solicitados são:
sin x2 = raiz33 e tan x2 = raiz22

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