Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(h) integral 1x^2+4 d x

Passo 1

A gente tem que calcular a primitiva de 1x^2+4. O conteúdo aqui é integrar uma função do tipo 1/(x^2+a^2), e vamos usar substituição trigonométrica para transformar em algo do tipo integral dtheta.

Passo 2

Para essa integral, escolhemos a substituição
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta
porque isso faz aparecer x^2+4 = 4sec^2theta.

Passo 3

Substituindo em x^2+4 e em dx temos:
x^2 + 4 = 4tan^2theta + 4 = 4sec^2theta,
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integral 1x^2+4,dx = integral 14sec^2thetacdot 2sec^2theta,dtheta = 12integral dtheta

Passo 4

Integrando em theta fica
12integral dtheta = 12theta + C

Passo 5

Só falta voltar pra x. Como x=2tantheta temos theta=arctanl(tfracx2r).

Passo 6

Portanto, a integral é
integral 1x^2+4,dx = 12arctanl(tfracx2r) + C

Resposta

12arctanl(tfracx2r)+C

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