Sabendo que x=arcsen(513) e y=arccos (-45), determine:
sen(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois ângulos especiais: e . Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para isso, vamos usar algumas fórmulas de senos e cossenos, além de entender como trabalhar com funções inversas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa sen^2(x) + cos^2(x) = 1 . Isso quer dizer que . Para encontrar os outros valores trigonométricos de (513)^2 + cos^2(x) = 1 25169 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 - 25169 cos^2(x) = 144169 cos(x) = 1213 , como , podemos usar a identidade pitagórica:
Substituindo:
(Assumimos que é positivo porque o arco-seno retorna valores entre e , onde o cosseno é positivo.)

Passo 3

Agora, vamos analisar sen^2(y) + cos^2(y) = 1 sen^2(y) + (-45)^2 = 1 sen^2(y) + 1625 = 1 sen^2(y) = 1 - 1625 sen^2(y) = 925 sen(y) = 35 . Isso significa que . Vamos encontrar usando a mesma identidade pitagórica:
(Como o arco-cosseno retorna valores entre 0 e , será positivo.)

Passo 4

Agora que temos , sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) , e sen(x + y) = 513 times (-45) + 1213 times 35 , podemos usar a fórmula do seno da soma de dois ângulos:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos fazer as contas:

Resposta

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