Sabendo que , onde são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação , encontre uma solução do problema de valor inicial
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y.
a) x0=0, y0=1, y1=2
b) x0=1, y0=0, y1=e
c) x0=-1, y0=5, y1=-5
d) x0=y0=y1=0
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a solução geral da equação diferencial $ y’’ - y = 0 $, que é $ y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-x} $. Nosso objetivo é encontrar valores para as constantes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ que satisfaçam as condições iniciais dadas, ou seja, $ y(x_0) = y_0 $ e $ y’(x_0) = y_1 $. Para isso, precisaremos usar essas condições para montar um sistema de equações e resolver para $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
a) $ x_{0}=0, y_{0}=1, y_{1}=2 $
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição $ y(0) = 1 $ na solução geral:
y(0) = 1
Isso nos dá a primeira equação: $ C_{1} + C_{2} = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(x) $:
y(x)
Aplicando a condição $ y’(0) = 2 $:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x
Isso nos dá a segunda equação: $ C_{1} - C_{2} = 2 $.
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1 C1 - C2 = 2
Vamos somar as duas equações para eliminar $ C_{2} $:
C2
Substituindo $ C_{1} $ na primeira equação:
2C1 = 3 implies C1 = 32
Passo 5
Agora que encontramos $ C_{1} $ e $ C_{2} $, substituímos de volta na solução geral:
C1
Passo 6
Para determinar o maior intervalo de definição desta solução, observamos que a função exponencial está definida para todos os valores de $ x $. Portanto, o intervalo de definição é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
Passo 7
Finalmente, para esboçar a curva integral no plano $ xy $, podemos observar que a combinação de termos exponenciais positivos e negativos cria uma curva que cresce exponencialmente para valores positivos de $ x $ e decresce para valores negativos. Porém, como não podemos desenhar aqui, apenas visualizamos que a curva passa pelo ponto $ (0,1) $ e tem uma inclinação inicial de 2.
Passo 8
Entendendo o que o exercício pede, vamos resolver o item b) $ x_{0}=1, y_{0}=0, y_{1}=e $ usando o mesmo método aplicado anteriormente.
Passo 9
Aplicamos a condição $ y(1) = 0 $ na solução geral:
y(1) = 0
Passo 10
Calculamos a derivada de $ y(x) $ e aplicamos $ y’(1) = e $:
y(x)
Passo 11
Agora temos o sistema:
C1 e + C2e = 0 C1 e - C2e = e
Somando as duas equações:
2C1 e = e implies C1 = 12
Substituindo $ C_{1} $ na primeira equação:
C1
Passo 12
Substituímos $ C_{1} $ e $ C_{2} $ na solução geral:
C1
Passo 13
Como anteriormente, a solução está definida para todos os $ x $ reais, então o intervalo de definição é $ \mathbb{R} $.
Passo 14
A curva integral passa pelo ponto $ (1,0) $ e tem uma inclinação inicial de $ e $. A combinação de exponenciais resulta em crescimento para $ x $ positivo e decrescimento para $ x $ negativo.
Passo 15
Agora, vamos resolver o item c) $ x_{0}=-1, y_{0}=5, y_{1}=-5 $ seguindo os mesmos passos.
Passo 16
Aplicamos a condição $ y(-1) = 5 $ na solução geral:
y(-1) = 5
Passo 17
Calculamos a derivada de $ y(x) $ e aplicamos $ y’(-1) = -5 $:
y(x)
Passo 18
O sistema fica:
C1e + C2 e = 5 C1e - C2 e = -5
Somando as equações:
2 C1e = 0 implies C1 = 0
Substituindo $ C_{1} = 0 $ na primeira equação:
C1 = 0
Passo 19
Substituímos $ C_{1} $ e $ C_{2} $ na solução geral:
C1
Passo 20
A solução é válida para todos os $ x $ reais, então o intervalo de definição é $ \mathbb{R} $.
Passo 21
A curva integral é uma função decrescente exponencial que passa pelo ponto $ (-1,5) $ com inclinação inicial de $ -5 $.